Recherches

Je m’intéresse aux probabilités et plus particulièrement aux modèles de mécanique statistique qui présentent le phénomène de criticalité auto-organisée. Ce phénomène caractérise les sytèmes physiques complexes, composés d'un nombre important d'éléments en interaction dynamique, qui sont naturellement attirés par des points critiques, sans aucune intervention extérieure. Pendant ma thèse j'ai modifié la version champ-moyen du modèle d'Ising pour construire et étudier un modèle ayant ce comportement.

J'ai effectué ma thèse, intitulée Un modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée, à l'université Paris Sud et à l'ENS Paris, sous la direction de Raphaël Cerf. La soutenance a eu lieu le 8 juin 2015.

Après ma thèse, j'ai occupé pendant deux ans un poste de Lecteur Hadamard (post-doc de la FMJH) à l'université Paris Sud. Tout en continuant d'étudier le modèle de ma thèse, j'ai aussi étudié des propriétés (périmètre, volume, temps d'exploration) du cluster critique dans la percolation par site sur la triangulation uniforme infinie du plan.


Thèse

  • Ma thèse : Un modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée PDF
    Résumé

    Dans leur célèbre article de 1987, les physiciens Per Bak, Chao Tang et Kurt Wiesenfeld ont montré que certains systèmes complexes, composés d'un nombre important d'éléments en interaction dynamique, évoluent vers un état critique, sans intervention extérieure. Ce phénomène, appelé criticalité auto-organisée, peut être observé empiriquement ou simulé par ordinateur pour de nombreux modèles. Cependant leur analyse mathématique est très ardue. Même des modèles dont la définition est apparemment simple, comme les modèles décrivant la dynamique d'un tas de sable, ne sont pas bien compris mathématiquement. Le but de cette thèse est la construction d'un modèle de criticalité auto-organisée, qui est aussi simple que possible, et qui est accessible à une étude mathématique rigoureuse. Pour cela, nous modifions le modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé en introduisant un contrôle automatique du paramètre de température. Pour une classe de distributions symétriques satisfaisant une certaine condition d'intégrabilité, nous montrons que la somme $S_n$ des variables aléatoires du modèle a le comportement typique du modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé critique: les fluctuations sont d'ordre $n^{3/4}$ et la loi limite est $C \exp(-\lambda x^{4})\,dx$, où $C$ et $\lambda$ sont des constantes strictement positives. Notre étude nous a menés à généraliser ce modèle dans plusieurs directions : cas de la dimension supérieure, fonctions d'interactions plus générales, extension à des auto-interactions menant à des fluctuations d'ordre $n^{5/6}$. Nous étudions aussi des modèles dynamiques dont la distribution invariante est la loi de notre modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée. (Version officielle disponible ici)


  • Mon mémoire de Master 2 : Le modèle d'Ising Curie-Weiss et ses généralisations PDF

Publications

  • Path-space moderate deviations for a Curie-Weiss model of Self-Organized Criticality: the Gaussian case,
    Francesca Collet, Matthias Gorny & Richard C. Kraaij
    à paraître, 2018. PDF
    Résumé

    We analyze the dynamics of moderate fluctuations for the magnetization of the Curie-Weiss model of self-organized criticality introduced in (Gorny, 2017). We obtain a path-space moderate deviation principle via a general analytic approach based on convergence of non-linear generators and uniqueness of viscosity solutions for associated Hamilton-Jacobi equations.


  • The geometry of a critical percolation cluster on the UIPT, Matthias Gorny, Édouard Maurel-Segala & Arvind Singh
    à paraître dans Annales de l'Institut Henri Poincaré, 2017. PDF
    Résumé

    Nous considérons une percolation critique par site sur la triangulation uniforme infinie du plan. Nous étudions la queue de distribution du temps d'exploration, du périmètre et du volume de l'enveloppe du cluster critique. Les exposants obtenus ici diffèrent d'un fateur $2$ de ceux calculés précédemment dans (Angel, Curien. 2015) dans le cas d'une percolation critique par site sur la triangulation uniforme infinie du demi-plan.


  • The Curie-Weiss Model of SOC in Higher Dimension, Matthias Gorny
    à paraître dans Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2017. PDF
    Résumé

    Nous construisons et étudions une version multidimensionnelle du modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée que nous avons introduit dans (Cerf, Gorny. 2016). Pour une classe de mesures de probabilité symétriques satisfaisant une certaine condition d'intégrabilité, nous montrons que la somme $S_n$ des variables aléatoires du modèle a un comportement asymptotique critique : les fluctuations sont d'ordre $n^{3/4}$ et la loi limite admet une densité proportionnelle à l'exponentielle d'un polynôme de degré $4$.


  • A Dynamical Curie-Weiss Model of SOC: The Gaussian Case, Matthias Gorny
    Annales de l'Institut Henri Poincaré, 53(2):658–678, 2017. PDF
    Résumé

    Dans cet article, nous introduisons un processus de Markov dont l'unique distribution invariante est la loi du modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée que nous avons introduit dans (Cerf, Gorny. 2016). Dans le cas gaussien, nous montrons rigoureusement qu'il s'agit d'un modèle dynamique de criticalité auto-organisée : les fluctuations de la somme $S_{n}(\,\cdot\,)$ du processus évoluent avec une échelle de temps $\sqrt{n}$ et une échelle d'espace $n^{3/4}$ et la loi limite est la solution d'une équation différentielle stochastique "critique".


  • Fluctuations of the Self-Normalized Sum in the Curie-Weiss Model of SOC, Matthias Gorny & S.R.S Varadhan
    Journal of Statistical Physics, 160(3):513-518, 2015. PDF
    Résumé

    Nous étendons le théorème principal de (Cerf, Gorny. 2016) à propos des fluctuations dans le modèle d'Ising Curie-Weiss de SOC, dans le cas symétrique. Nous présentons une preuve courte utilisant la transformation de Hubbard-Stratonovich appliquée aux sommes normalisées des variables aléatoires du modèle.


  • An Exponential Inequality for Symmetric Random variables, Raphaël Cerf & Matthias Gorny
    American Mathematical Monthly, 122(8):786-789, 2015. PDF
    Résumé

    Nous prouvons une inégalité exponentielle simple qui donne un contrôle des deux premiers moments empiriques de $X_1,\dots,X_n$, des variables aléaloires réelles symétriques indépendandantes et identiquement distribuées. Pour tous $x,y>0$, nous avons \[\mathbb{P}\big({X_1+\dots+X_n}\geq x,\,{X_1^2+\dots+X_n^2}\leq y\big)< \exp\left(-\frac{x^2}{2y}\right)\,.\]


  • A Lower Bound on the Relative Entropy with Respect to a Symmetric Probability, Raphaël Cerf & Matthias Gorny
    Electronic Communications in Probability, 20(5):1-5, 2015. PDF
    Résumé

    Soient $\rho$ et $\mu$ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}$ qui ne sont pas la masse de Dirac en $0$. Nous notons $H(\mu|\rho)$ l'entropie relative de $\mu$ par rapport à $\rho$. Nous montrons que, si $\rho$ est symétrique et si $\mu$ admet un moment d'ordre $1$, alors \[ H(\mu|\rho)\geq \frac{\displaystyle{\left(\int_{\mathbb{R}}z\,d\mu(z)\right)^2}}{\displaystyle{2\int_{\mathbb{R}}z^2\,d\mu(z)}}\,,\] avec égalité si et seulement si $\mu=\rho$. Nous présentons une application au modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée.


  • A Self-Interaction Leading to Fluctuations of Order $n^{5/6}$, Matthias Gorny
    Markov Processes and Related Fields, 21:205-248, 2015. PDF
    Résumé

    Dans (Cerf, Gorny. 2016), nous avons construit et étudié un modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée : il s'agit d'un modèle de particules en auto-interaction menant à des fluctuations d'ordre $n^{3/4}$ et une loi limite proportionnelle à $\exp(-x^4/12)$. Dans cet article, nous modifions notre modèle afin de "tuer le terme en $x^4$" et d'obtenir une auto-interaction menant à des fluctuations d'ordre $n^{5/6}$ et une loi limite $C\,\exp(-\lambda x^6)\,dx$, où $C$ et $\lambda$ sont des constantes strictement positives.


  • The Cramér Condition for the Curie-Weiss Model of SOC, Matthias Gorny
    Brazilian Journal of Probability and Statistics, 30(3):401-431, 2016. PDF
    Résumé

    Nous poursuivons l'étude du modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée que nous avons introduit dans (Cerf, Gorny. 2016). Nous étendons nos résultats à des fonctions d'interaction plus générales et nous montrons que, pour une classe de mesures de probabilité symétriques satisfaisant une condition de Cramér $(C)$ et une certaine hypothèse d'intégrabilité, la somme $S_{n}$ des variables aléatoires du modèle a le comportement typique du modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé critique. Les fluctuations sont d'ordre $n^{3/4}$ et la loi limite est $C \exp(-\lambda x^{4})\,dx$, où $C$ et $\lambda$ sont des constantes strictement positives. Dans (Cerf, Gorny. 2016), nous n'avions obtenu ces résultats que pour des mesures de probabilité ayant une densité paire.


  • A Curie-Weiss Model of Self-Organized Criticality: The Gaussian Case, Matthias Gorny
    Markov Processes and Related Fields, 20(3):563-576, 2014. PDF
    Résumé

    Nous essayons de construire un modèle de criticalité auto-organisée, qui est aussi simple que possible, et qui est accessible à une étude mathématique rigoureuse. Pour cela, nous modifions le modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé en introduisant un contrôle automatique du paramètre de température. A l'aide de calculs exacts, nous montrons que, dans le cas d'une mesure gaussienne centrée de variance $\sigma^{2}>0$, la somme $S_n$ des variables aléatoires du modèle a des fluctuations d'ordre $n^{3/4}$ et et la loi limite est $C \exp(-x^{4}/(4\sigma^4))\,dx$, où $C$ est une constante strictement positive.


  • A Curie-Weiss Model of Self-Organized Criticality, Raphaël Cerf & Matthias Gorny
    The Annals of Probability, 44(1):444-478, 2016. PDF
    Résumé

    Nous essayons de construire un modèle de criticalité auto-organisée, qui est aussi simple que possible, et qui est accessible à une étude mathématique rigoureuse. Pour cela, nous modifions le modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé en introduisant un contrôle automatique du paramètre de température. Pour une classe de mesures de probabilité symétriques satisfaisant une certaine condition d'intégrabilité, nous montrons que la somme $S_n$ des variables aléatoires du modèle a le comportement typique du modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé critique : les fluctuations sont d'ordre $n^{3/4}$ et la loi limite est $C \exp(-\lambda x^{4})\,dx$, où $C$ et $\lambda$ sont des constantes strictement positives.