Mathématiques ECS1B

lundi 2 septembre 2019 : (8h30-10h)

ACCUEIL.

lundi 2 septembre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements (poly à trous distribué en cours PDF)
I Éléments de logique

1) Proposition
Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
2) Propositions équivalentes
Table de vérité, exemples.
3) Négation d'une proposition
Table de vérité, exemples. Négation d'une négation.
4) Conjonction et disjonction de propositions
Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
5) Implication
Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
II Ensembles, éléments et quantificateurs

1) Notion d'ensemble et d'éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
2) Quantificateurs
Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.

mardi 3 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 1 (suite)
II Ensembles, éléments et quantificateurs

2) Quantificateurs
Méthodes de preuve.
III Raisonnements usuels

1) Le raisonnement direct
Principe et exemple.
2) Le raisonnement par contraposition
Principe et exemple.
3) Le raisonnement par l'absurde
Principe et exemple.
4) Le raisonnement par récurrence
Rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.
5) Le raisonnement par disjonction des cas.
Principe et exemple.
6) Le raisonnement par analyse/synthèse
Principe et exemple

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 1,2,3,4,6)

mercredi 4 septembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 2 : Ensembles de nombres, calculs algébriques et inégalités
I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Existence admise des ensembles de nombres
2) Opérations dans $\mathbb{R}$
Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particulier de $\mathbb{Q}$. Congruences sur $\mathbb{R}$. Puissances entières. Identités remarquables.
3) Opérations dans $\mathbb{C}$
Extension de l'addition et la multiplication des réels aux complexes (on reverra cela en détail au chapitre 4).
4) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire. Partie entière d'un réel.
5) Racines d'un réel positif
Définition, unicité, propriétés. Existence admise.

mercredi 4 septembre 2019 : (13h-15h : cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 2 (suite)
I Les ensembles de nombres
6) Forme canonique d'un trinôme du second degré
Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$ dans le cas réel et le cas complexe. Signe dans le cas réel.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 7,9,11,14)

vendredi 6 septembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 1,8,10)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres
1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
2) Sommes usuelles
Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques.
3) Propriétés de la somme et du produit
Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
4) Changement d'indice

lundi 9 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 5,6,10,11,14,15)

mardi 10 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres

5) Sommes et produits télescopiques
Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.
III Factorielles et coefficients binomiaux
1) Factorielle d'un entier
2) Coefficients binomiaux
Définition, propriétés. Formule de Pascal.
3) Formule du binôme de Newton

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 16,18,19,21)

INTERROGATION ECRITE

mercredi 11 septembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 19,21,24,25,26)

vendredi 13 septembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 17,22,28,30,31)

COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle (poly à trous distribué en cours PDF)
I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
1) Introduction
Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative.
2) Opérations sur les fonctions
3) Propriétés globales
Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
2) Continuité
Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire (cas strictement monotone). Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.
3) Dérivabilité
Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones.

samedi 14 septembre 2019 : (8h-12h cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
3) Dérivabilité
Exemples.
4) Tableau de variations
III Plan d'étude d'une fonction
IV Fonctions usuelles
1) Fonctions puissances d'un nombre entier
2) Les fonctions affines, polynômiales et rationnelles
3) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
4) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
5) Puissances à exposant réel
Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel. Exponentielle de base $a$.
6) Autres fonctions usuelles (valeur absolue, partie entière)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,3,14)

COURS : Chapitre 2 (suite et fin)
IV Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Notion de somme double
Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
2) Le cas d'un domaine rectangulaire
3) Le cas d'un domaine triangulaire

lundi 16 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 31,32)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,3,17)

mardi 17 septembre 2019 : (8h-11h)

PHOTO DE CLASSE

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 4,6,9,12)

mercredi 18 septembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 4 - Nombres complexes et trigonométrie
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
1) L'ensemble des nombres complexes
Définition de $\mathbb{C}$. Vocabulaire. Addition et multiplication sur les complexes. Rappel du binôme de Newton et des sommes géométriques.
3) Conjugué d'un nombre complexe
Définition et propriétés.
4) Module d'un nombre complexe
Définition et propriétés. Inégalité triangulaire.
5) Interprétation géométrique des nombres complexes
II Trigonométrie
1) Cercle trigonométrique, cosinus, sinus
2) Formulaire de trigonométrie
3) Tangente

INTERROGATION ECRITE

vendredi 19 septembre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1) Argument d’un nombre complexe non nul
Définition. Forme trigonométrique d'un complexe non nul
2) Notation exponentielle
Définition et propriétés de l'exponentielle d'un imaginaire pur. Forme exponentielle d'un complexe non nul.
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
3) Applications à la trigonométrie
Formules de Moivre et d’Euler, à la technique de l'Arc-moitié et aux calculs de sommes de sinus et cosinus. Applications au développement de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ et à la linéarisation de $\cos^p(\theta)$, $\sin^q(\theta)$ et $\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)$.
IV Équations polynômiales complexes
1) Racines carrées dans $\mathbb{C}$
Méthode pour déterminer une racine carrée d'un nombre complexe dans $\mathbb{C}$.

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 12,13,14,17)

lundi 23 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 1,3)

COURS : Chapitre 4 (suite)
IV Équations polynômiales complexes
2) Équations du second degré à coefficients complexes

mardi 24 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 4 (suite et fin)
IV Équations polynômiales complexes
3) Racines $n$-ièmes d'un complexe
Racines de l'unité (conformément au programme d'ECS, les résultats concernant les racines $n$-ièmes de l'unité ne sont pas exigibles des étudiants mais elles pourront être étudiées comme exemples d'utilisation de la notation exponentielle).

COURS : Chapitre 5 - Généralités sur les suites de nombres réels (poly à trous distribué en cours PDF)
I Notion de suite de nombres réels
1) Définitions
Notion de suite de nombres réels. Suites définies explicitement, par récurrence ou implicitement. Propriété vraie à partir d'un certain rang.
2) Opérations sur les suites
3) Propriétés générales
Monotonie. Suites majorées, minorées, bornées.
II Exemples de suites réelles
1) Suites arithmétiques
2) Suites géométriques
3) Suites arithmético-géométriques
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 6,13,16,18)

mercredi 25 septembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 9,11,17,19)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 6)

vendredi 27 septembre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DM 2

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercice 19)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercices 1,5)

samedi 28 septembre 2019 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab (1/2)

lundi 30 septembre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 6 - Convergence de suites réelles
I Bornes supérieures et inférieures sur $\mathbb{R}$
1) Majorant, minorant, maximum, minimum
2) Bornes supérieures, inférieures
3) Théorèmes d'existence
Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum. Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de $\mathbb{Z}$ admet un maximum (resp. un minimum). Théorème de la borne supérieure. Existence de la partie entière d'un réel.
II Suites convergentes

1)Définitions
Trois définitions équivalentes (dont la définition quantifiée).

mardi 1er octobre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
II Suites convergentes

1)Définitions
Unicité de la limite d'une suite convergente. Premières propositions immédiates. Suites des termes de rangs pairs/impairs.
2)Exemples fondamentaux
Convergence des suites constantes et stationnaires. Convergence vers $0$ des suites $(1/n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\alpha>0$, $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]-1,1\mathclose[$.
3) Limites et relation d'ordre
Une suite réelle convergente est bornée. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre (suite et fin).
4) Opération algébriques sur les suites convergentes
Opérations algébriques usuelles ainsi que l'élévation à la puissance $\alpha\in \mathbb{R}$.
5) Théorèmes d'encadrement
Théorème et conséquence. Application à la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. 6) Limites et composition par une fonction continue
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)
III Suites tendant vers $\pm \infty$

1) Définitions
Définition. Droite numérique achevée $\overline{\mathbb{R}}$. Unicité de la limite dans $\overline{\mathbb{R}}$.
2) Exemples fondamentaux
Convergence vers $+\infty$ des suites $(n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}}$ pour $\alpha>0$, $((\ln(n))^{\beta})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\beta>0$, $(n!)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]1,+\infty\mathclose[$.
3) Limites et compositon par des fonctions
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)

mercredi 2 octobre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
III Suites tendant vers $\pm \infty$

4) Limites infinies et relation d'ordre
5) Opérations algébriques sur les suites admettant une limite finie ou infinie
Quelques exemples de formes indéterminées.
6) Croissances comparées

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercice 1)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 1

vendredi 4 octobre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
IV Limites de suites monotones

1) Théorème de la limite monotone
2) Suites adjacentes
V Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$

1) Introduction
Points fixes. Si $f$ est continue et si la suite converge, alors la limite est un point fixe de $f$.
2) Exemple dans le cas où $f$ est croissante

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 6,9)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 1)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab (2/2)

lundi 7 octobre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 6 (suite et fin)
V Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$

3) Exemple dans le cas où $f$ est décroissante

COURS : Chapitre 7 - Ensembles et applications (poly à trous distribué en cours PDF)
I Ensembles

1) Ensembles et éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension.
2) Parties d'un ensemble
Inclusion, double inclusion, transitivité. Ensemble vide. Ensemble des parties d'un ensemble.
3) Opérations sur les parties
Complémentaire, intersection, union, différence. Diagrammes de Venn. Cas des ensembles définis par compréhension. Propriétés de l'intersection, l'union et du complémentaire (commutativité, distributivité, lois de Morgan, etc.). Parties disjointes.

mardi 8 octobre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 7 (suite)
I Ensembles

4) Produit cartésien
Couples, $n$-upluet. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles.
5) Familles d'éléments
Famille d'éléments d'un ensemble indexée par un ensemble. Union et intersection d'une famille de parties d'un ensemble. Distributivité et lois de Morgan. Partition d'un ensemble.
II Applications

1) Notion d'application
Applications, images, antécédents, ensembles de départ et d'arrivée. Différence avec la notion de fonction. Egalité d'applications. Graphe d'une application, ensemble image. Application identité, application constante. Premiers exemples.
2) Composition d'applications
Applications composées. Associativité.

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 2,4,8,10,13)

mercredi 9 octobre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 7 (suite et fin)
III Applications injectives, surjectives, bijectives

1) Applications injectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition d'injections.
2) Applications surjectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition de surjections.
3) Applications bijectives
Définition. Exemples. Composition de bijections. Ensembles en bijection.
4) Réciproque d'une bijection
Application réciproque. Caractérisation de la bijection. Réciproque de la composée de bijections.

vendredi 11 octobre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 11,12,13,16,18)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP2 : Programmes et fonctions en Scilab (1/2)

mardi 15 octobre 2019 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 4,5,7,10,13)

mercredi 16 octobre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 8 - Élements de combinatoire
I Cardinal d’un ensemble fini

Définition intuitive. Définition avec la bijection. Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal. Le cardinal d'une partie d'un ensemble $E$ est inférieur au cardinal de $E$. Cas d'égalité.
II Dénombrement

1) Cardinal de l'union d'ensembles finis
Cardinal de l'union disjointe d'une famille finie de parties. Lemme des bergers. Cardinal du complémentaire. Formule de Poincaré pour deux ensembles finis.
2) Cardinal d'un produit cartésien.
3) Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini
III Listes, permutations, combinaisons

1) Listes
Lien avec les applications d'un ensemble de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments. Cardinal : $n^p$.
2) Listes d'éléments disjoints
Cardinal : $n!/(n-p)!$.

jeudi 17 octobre 2018 : (10h-11h et 14h30-16h30 en remplacement du lundi)

COURS : Chapitre 8 (suite et fin)
III Listes, permutations, combinaisons

2) Listes d'éléments disjoints
Lien avec les injections d'un ensemble de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.
3) Permutations
Lien avec les bijections et les façons d'ordonner les éléments d'un ensemble. Cardinal : $n!$.
4) Combinaisons
On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie de $E$ de cardinal $p$. Lien avec les $p$ listes d'éléments distincts non-ordonnées éléments de $E$.. Lien avec le choix de $p$ éléments de $E$. Lien avec un chemin réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions dans un arbre binaire. Cardinal : $\displaystyle\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
5) Revisitons les propriétés des coefficients binomiaux
Démonstration combinatoire des formules usuelles sur les coefficients binomiaux, dont la formule de Pascal. Démonstration par récurrence de la formule du binôme de Newton.
6) Applications aux tirages

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 9,10)

vendredi 18 octobre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 2,3,9,12,15)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 1,2)

samedi 19 octobre 2019 : (8h-12h : cours supplémentaire)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 2,3,4,5,6,7,10)

BILAN DU PREMIER SEMESTRE ET PREPARATION DU DS2

COURS : Chapitre 9 - Probabilités sur un univers fini (poly à trous distribué en cours PDF)
I Espaces probabilisés finis

1) Introduction
Notion d'expérience aléatoire. Premiers Exemples.
2) Espaces probabilisables finis
Espaces probabilisables finis. Univers. Evénements. Evénements élémentaires, certain, impossible. Evénéments incompatibles.
3) Opérations sur les événements
Evénement contraire. Réunion, intersection, complémentaire, inclusion d'événements. Evénements incompatibles. Rappels sur les opérations sur les ensembles. Système complet d'événements.

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP2 : Programmes et fonctions en Scilab (2/2)

lundi 4 novembre 2019 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 9 (suite)
I Espaces probabilisés finis

4) Système complet d'événements
5) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Probabilité. Premières propriétés. Additivité finie. Probabilité de l'union de deux ou trois événements. Probabilités et systèmes complet d'événements. Equiprobabilité.

mardi 5 novembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 9 (suite et fin)
I Espaces probabilisés finis

5) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Equiprobabilité : modélisation et exemple.
II Probabilité conditionnelle (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Définition et propriétés
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nul est une probabilité.
2) Formule des probabilités composées
3) Formule des probabilités totales
4) Formule de Bayes

III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Définition. Lien avec les probabilités conditionnelles. Exemples et contre-exemples.
2) Famille d’événements indépendants
Indépendance deux à deux. Indépendance mutuelle. Théorème des coalitions.

mercredi 6 novembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 1,2,4,8,13)

vendredi 8 novembre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 9,12,18,21)

samedi 19 octobre 2019 :

DEVOIR SURVEILLE

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures conditionnelles (1/2)

mardi 12 novembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 10 - Variables aléatoires finies (poly à trous distribué en cours PDF)
I Variable aléatoire réelle finie

1) Définitions et exemples
Notation $[X=x]$, $[x\leq x]$, etc. Système complet associé à une variable aléatoire réelle finie.
2) Loi d'une variable aléatoire
Différentes façons de représenter une loi. Egalité en loi (notation $X\overset{\mathscr{L}}{=}Y$). Existence de variable aléatoire réelle finie de loi donnée (notation $X\hookrightarrow \mathscr{L}$).
3) Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle finie.
Formule générale. Calcul de certaines probabilités à partir de la fonction de répartition. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert de variables aléatoires
Etude de transferts de variables aléatoires dans des cas particuliers.
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

1)Espérance
Définition

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS2

mercredi 13 novembre 2019 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 10 (suite)
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

1) Espérance
Plusieurs exemples. Propriété de positivité, linéarité, additivité. Notion de variable aléatoire centrée.
2) Formule de transfert
3) Variance et écart-type
Formule de Koenig-Huygens. Propriétés générales de la variance. Notion de variable aléatoire centrée réduite.

jeudi 14 novembre 2019 : (10h-11h et 14h30-16h30 à la place du lundi 25 novembre 13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 17,19,20)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 3,8,12)

vendredi 15 novembre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 10 (suite et fin)
III Lois finies usuelles (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Loi certaine
2) Loi uniforme
3) Loi de Bernoulli
4) Loi binomiale

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 1,10,17)

TP d'informatique (mardi de 12h30 à 13h30 et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures conditionnelles (2/2)

TP4 : Boucles for (1/3)

lundi 18 novembre 2019 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 4,6,13,14,16)

mardi 19 novembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 11 - Étude locale de fonctions : limites et continuité en un point (poly à trous distribué en cours PDF)
I Limite et continuité en un point

1) Notion de voisinage
2) Limite finie en un point
Limite d'une fonction $f$ définie en un point $x_0$ de $I$ ou une éventuelle extrémité finie de $I$. Extension de la définition au cas où $f$ n'est pas définie en $x_0$.
3) Premières propriétés
4) Continuité en un point
Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0\in I$, alors $\ell=f(x_0)$. On dit alors que $f$ est continue en $x_0$. Prolongement par continuité.
5) Limite et continuité à gauche et à droite
Liens entre limite finies et limites à gauche et à droite en $x_0$ (cas où $f$ est définie ou non). Liens entre continuité et continuité à gauche et à droite en $x_0$.
6) Limite infinie en un point de $\mathbb{R}$
Limite infinie, limite infinie à gauche, à doite.
7) Limites en $\pm\infty$
II Résultats généraux sur les limites

1) Théorèmes de composition des limites
Image d’une suite convergente par une fonction admettant une limite en $x_0$. Limite et continuité d’une fonction composée
2) Limites et relations d'ordre
3) Opérations algébriques sur les limites

mercredi 20 novembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 11 (suite et fin)
III Le théorème de la limite monotone pour les fonctions
IV Asymptotes et branches paraboliques
V Continuité en un point et limites de fonctions usuelles

1) Continuité en un point de fonctions usuelles
2)Limites de fonctions usuelles
3)Croissances comparées

vendredi 22 novembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 15,18)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 1,2,7,8,10)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP4 : Boucles for (2/3)

mardi 26 novembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 12 - Étude globale de fonctions : continuité sur un intervalle
I Fonctions réelles continues sur un intervalle

1) Définition et exemples
Notation $C^0(I,\mathbb{R})$. Continuité des fonctions usuelles.
2) Opérations sur les fonctions continues
Opérations algébriques. Composée de fonctions continues.
3) Restriction de fonctions continues
II Le théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Formulations équivalentes. Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas garde un signe constant.
III Le théorème des bornes atteintes

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (preuve reportée demain). Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.
IV Le théorème de la bijection

1) Enoncé du théorème de la bijection
2) Qu'est-ce que $f(I)$?
Forme de $f(I)$ lorsque $f$ est monotone sur l'intervalle $I$.
3) La fonction Arctangente

mercredi 27 novembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 12 (suite et fin)
III Le théorème des bornes atteintes

Preuve du théorème.
IV Le théorème de la bijection

2) Qu'est-ce que $f(I)$?
Preuve et exemple.
3) La fonction Arctangente

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 6,13)

vendredi 29 novembre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 2,8)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 1,4,6,12)

samedi 30 novembre 2019 :

DEVOIR SURVEILLE

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP4 : Boucles for (3/3)

lundi 2 décembre 2019 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercice 11)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 2,14,15,17)

mardi 3 décembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 13 - Dérivation d’une fonction réelle à valeurs réelles (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivabilité en un point

1) Fonction dérivable en un point
Taux d'accroissement. Dérivée. Tangente à la courbe. Equation d'une droite du plan passant par deux points (rappel). Tangente verticale. Exemples des fonctions affines, carrée et racine carrée. La dérivabilité implique la continuité.
2) Dérivée à droite et à gauche
Notion de demi-tangente. Lien entre dérivabilité et dérivabilité à gauche et à droite.
3) Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Opérations algébriques. Dérivée d'une puissance entière de fonction. Dérivée d'une composée. Dérivée d'une réciproque. Lien entre les tangentes d'une bijection et celles de sa réciproque.
II Fonctions dérivées
1) Définitions
Fonction dérivable et fonction dérivée. Notation $D^1(I,\mathbb{R})$. Fonction de classe $C^1$. Notation $C^1(I,\mathbb{R})$.
2) Opérations sur les fonctions dérivables sur $I$
3) Dérivées usuelles
Fonctions puissances d'un nombre entier. Fonctions exponetielle, logarithme et puissances généralisées. Fonctions trigonométriques ($\cos$, $\sin$, $\tan$). Fonction $\mathrm{Arctan}$.
III Théorème de Rolle et accroissements finis

1) Extremum local et dérivée
2) Théorème de Rolle

INTERROGATION ECRITE

mercredi 4 décembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 13 (suite)
III Théorème de Rolle et accroissements finis

3) Le théorème des accroissements finis
4) L’inégalité des accroissements finis
5) Applications à l’étude des suites récurrentes
IV Variations des fonctions dérivables

1) Le cas des fonctions monotones

vendredi 6 décembre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 13 (suite et fin)
IV Variations des fonctions dérivables

2) Le cas des fonctions strictement monotones
V Retour sur les fonctions exponentielles et logarithme (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Exponentielle
2) Logarithme népérien
Avec notamment la preuve que $\smash[t]{\displaystyle\dfrac{\ln(x)}{x}\underset{x\to +\infty}{\longrightarrow}0}$.

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 7,8,10,18)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,2,6)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP5 : Boucles while (1/2)

lundi 9 décembre 2019 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,7,12,13,16)

mardi 10 décembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 14 - Intégration d’une fonction sur un segment
I Primitive d’une fonction continue

1) Notion de primitive
Unicité à une constante près. Unicité de la primitive s'annulant en un certain point.
2) Théorème fondamental
Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive (admis).
3) Primitives usuelles
II Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1) Définition
Définition en tant que différence des primitives de la fonction en chaque borne. Lien entre intégrale et primitive qui s'annule en un point.
2) Propriétés des intégrales
Relation de Chasles. Linéarité. Propriété de positivité (et cas d'une intégrale nulle). Propriété de croissance. Inégalité de la moyenne. Inégalité triangulaire.
III Calcul d’intégrales

1) Intégration par parties
Théorème et quatre exemples.
2) Changement de variables
Formule de changement de variables

mercredi 11 décembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 14 (suite)
III Calcul d’intégrales

2) Changement de variables
Méthodes. Trois exemples. Intégrales et parité.
IV Etude de fonctions définies par une intégrale (poly distribué en cours PDF)

vendredi 13 décembre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 5,10,15,17,18,22)

samedi 14 décembre 2019 : (8h-12h - cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 14 (suite)
V Sommes de Riemann à pas constant

1) Définitions
Somme de Riemann à gauche, à droite, au milieu.
2) Convergence des sommes de Riemann à pas constant
Preuve dans le cas $C^1$. Vitesse de convergence dans le cas $C^1$. Exemples.
3) Interprétation géométrique en terme d’aire : méthodes des rectangles et des trapèzes
VI Extension aux intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment
1) Notion de fonction continue par morceaux sur un segment
2) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3) Propriétés des intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 1,5,6,7,8,12,13)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP5 : Boucles while (2/2)

lundi 16 décembre 2019 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 2,6,21,25,26)

mardi 17 décembre 2019 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 7,9,10,27)

COURS : Chapitre 15 - Polynômes réels ou complexes
I Polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

1) Ensemble $\mathbb{K}[X]$
Définition (les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ sont vus comme des applications polynômiales de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$). Notation $X^k$ pour la fonction $x\in \mathbb{K}\longmapsto x^k$. Notion de monôme. $\mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$. Les coefficients d'un polynômes de $\mathbb{K}[X]$ sont uniquement déterminés. Polynôme nul.

mercredi 18 décembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 15 (suite)
I Polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

1) Ensemble $\mathbb{K}[X]$
Degré d'un polynôme. Ensembles $\mathbb{K}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$.
2) Opérations algébriques sur les polynômes (poly à trous distribué en cours PDF)
Somme, multiplication par un scalaire, produit, composition de polynômes. Formules sur le degré. Intégrité. Polynômes inversibles.
3) Dérivée d'un polynôme
II Division euclidienne de polynômes

1) Le théorème de la division euclidienne
Méthode Algorithmique. Exemple de la division euclidienne de $X^{2019}+1$ par $X^2+1$. Reste d'un polynôme par un polynôme de degré 1.

vendredi 20 décembre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 15 (suite et fin)
II Division euclidienne de polynômes

2) Divisibilité dans $\mathbb{K}[X]$
Diviseur et multiple. Propriétés générales.
III Racines d'un polynôme et factorisation

1) Définition et caractérisation
Définition. Lien avec la divisibilité. Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ admettant au moins $n+1$ racines distinctes est le polynôme nul. Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ admettant une infinité de racines est le polynôme nul. Caractérisation de l'égalité de deux polynômes en terme de racines. Exemple des polynômes de Tchebychev. Factorisation d'un polynôme de degré $n$ admettant exactement $n$ racines disctinctes.
2) Ordre de multiplicité d'une racine
Définition et exemples. Caractérisation. Cas d'une racine simple ou multiple.
3) Le théorème de D'Alembert-Gauss
4) Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$
Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ : tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{C}$ s'écrit comme produit de polynômes de degré $1$. Critère de divisibilité avec les racines.
4) Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$
Racines complexes d'un polynôme à coefficent réel. Son conjuguée est encore une racine de même multiplicité. Tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré impair admet une racine réelle. Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{R}$ s'écrit comme produit de polynômes de degré 1 et de degré 2 de discriminants strictement négatifs. Méthodes de factorication.

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 5,23)

CONCOURS BLANC

samedi 11 janvier 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 1,4,5,8,9,17,18,27)

COURS : Chapitre 16 : Systèmes linéaires (poly distribué en cours PDF)
Intégralité du cours et exemples supplémentaires illustrant la méthode du pivot de Gauss.

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 28)

lundi 13 janvier 2020 : (13h-15h)

ELEMENTS DE CORRECTION DU CONCOURS BLANC

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 2,13,19,27,29)

mardi 14 janvier 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 17 - Matrices (poly distribué en cours PDF)
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Ensemble de matrices

Matrice à $n$ lignes de $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. Ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Matrices lignes, colonnes. Matrice nulle. Matrices élémentaires.
II Opérations sur les matrices

1) Opérations algébriques dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$
Somme de matrices, multiplication par un scalaire. Premières propriétés.
2) Produit matriciel
Définition. Méthode pratique de calcul. Associativité. Distributivité par rapport au produit. $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ n'est pas intègre. Produit d'une matrice par une vecteur colonne. Lien entre matrices et systèmes linéaires.
3) Transposée d'une matrice
III Matrices carrées

1) Définitions et exemples
Ensemble $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Matrice nulle. Matrice identité. Le produit n'est pas commutatif. Matrices qui commutent. Matrices diagonales, triangulaires supérieures et inférieures, symétriques, anti-symétriques.
2) Puissances de matrices carrées
Propriétés des puissances de matrices. Formule du binôme de Newton pour deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ qui commutent. Exemples d'application.

EXERCICES : feuille de TD 16 (exercice 5)

mercredi 15 janvier 2020 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 17 (suite)
III Matrices carrées

3) Polynômes de matrices carrées
Définition et exemples. Notion de polynôme annulateur. Application au calcul des puissances successives d'une matrice carrée.
IV Matrices inversibles

1) Définitions et premières propriétés
2) Critères d'inversibilité (qui seront démontrés dans le chapitre 30 ou 31)
Une matrice inversible à gauche (resp. à droite) est inversible. Critère du noyau. Lien avec les systèmes de Cramer.
3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Cas des matrices triangulaires supérieures et des matrices diagonales. Cas des matrices d'ordre 2. Utilisation des polynômes annulateurs de matrices.
4) Utilisation d'inverses pour calculer des puissances

vendredi 17 janvier 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 6,9,15,22,27,30)

samedi 18 janvier 2020 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 26)

COURS : Chapitre 17 (suite et fin)
IV Matrices inversibles

3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Méthode de Gauss-Jordan.

EXERCICES : feuille de TD 16 (exercices 6)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 5,7,10)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Représentation graphique en Scilab (1/2)

lundi 20 janvier 2020 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 9,11,15,17,20)

mardi 21 janvier 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 18 - Introduction aux espaces vectoriels
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Espaces vectoriels

1) Définition
2) Premières propriétés
3) Exemples usuels
Définition de l'addition et de la multiplication externe sur $\mathbb{K}^n$ et sur $\mathcal{F}(A,E)$ où $A$ est un ensemble quelconque et $E$ un $\mathbb{K}$-e.v. Les ensembles $\mathbb{K}^n$ et $\mathcal{F}(A,E)$ sont des $\mathbb{K}$-e.v (en particulier l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles est un $\mathbb{R}$-e.v et les ensembles $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$ sont des $\mathbb{K}$-e.v).
4) Combinaison linéaires de vecteurs
Notion de famille finie de vecteurs.
II Sous-espaces vectoriels

1) Notion de sous-espace vectoriel
Exemples. Si $(E,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v et $F$ un s.e.v de $(E,+,\cdot)$, alors $(F,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v. Définitions équivalentes. Sous espace vectoriel de sous espace vectoriel.
2) Exemples usuels

mercredi 22 janvier 2020 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 18 (suite)
II Sous-espaces vectoriels

3) Intersection de sous-espaces vectoriels
4) Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs
Exemples. Caractérisation de de $\mathrm{Vect}(x_1,\cdots,x_n)$. Opérations élémentaires sur les vecteurs.

III Familles génératrices, familles libres, familles liées et bases

1) Familles génératrices
Défininition et exemples.

vendredi 24 janvier 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 4,16,19)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 1)

samedi 18 janvier 2020 : (8h-11h)

DEVOIR SURVEILLE

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Représentation graphique en Scilab (2/2)

lundi 27 janvier 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 18 (suite et fin)
III Familles génératrices, familles libres, familles liées et bases

2) Familles liées, familles libres
Définitions. Vecteurs colinéaires. Exemples.
3) Bases
Coordonnées d'un vecteur dans une base. Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$.

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercice 1)

mardi 28 janvier 2020 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 7,10,12,16)

COURS : Chapitre 19 - Analyse asymptotique
I Négligeabilité

1) Définition et premiers exemples
2) Comparaisons usuelles

mercredi 29 janvier 2020 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 19 (suite)
I Négligeabilité

2) Comparaisons usuelles
Croissances comparées. Echelle des suites usuelles (vitesse de convergence).
3) Propriétés
Propriétés des suites négligeables (transitivité, multiplication par une constante non nulle, produits, sommes de mêmes petits o). Cas de la somme de petits o différents. Propriétés des fonctions négligeables (transitivité, multiplication par une constante non nulle, produits, sommes de mêmes petits o). Substitution par une fonction ou pas une suite dans un petit o. Attention : composition à gauche interdite.
II Equivalence

1) Définition et premiers exemples
2) Propriétés
Propriétés des suites équivalentes (Lien avec les suites négligeables. Réflexivité, symétrie, transitivité)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 4

vendredi 31 janvier 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 19 (suite et fin)
II Equivalence

1) Définition et premiers exemples
2) Propriétés
Propriétés des suites équivalentes (Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Incompatibilité avec la somme). Propriétés des fonctions équivalentes (Lien avec les fonctions négligeables. Réflexivité, symétrie, transitivité. Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Incompatibilité avec la somme). Substitution par une fonction ou pas une suite dans un équivalent. Attention : composition à gauche interdite.
3) Équivalents usuels
Polynômes en $0$ et $+\infty$. Polynômes en $1/n$. Equivalents usuels en $0$ ($\ln(1+x)\sim x$, $e^{x}-1\sim x$, $(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$ si $\alpha\in \mathbb{R}^*$, $1-\cos(x)\sim\frac{x^2}{2}$, $\sin(x)\sim x$, $\tan(x)\sim x$ et $\mathrm{Arctan}(x)\sim x$). Formule de Stirling.
4) Exemples

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 1,13,16,17)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Matrices en Scilab (1/2)

lundi 3 février 2020 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 3,4,5,13)

mardi 4 février 2020 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 11,18,15)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 2,6,10,11)

mercredi 5 février 2020 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 20 - Dérivées successives et formules de Taylor (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivées successives

1) Définitions
Fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Notations $f^{(n)}$ et $D^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^n$ sur $I$. Notation $C^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $I$. Notation $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$. Les fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus, tangente et Arctangente sont de classe $C^{\infty}$ sur leur domaine de définition. Contre exemple.
2) Opérations sur les dérivées successives
$D^n(I,\mathbb{R})$, $C^n(I,\mathbb{R})$ et $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$ sont des $\mathbb{R}$-e.v. Formule de Leibniz. Si $P\in \mathbb{R}_p[X]$ alors, pour tout $n>p$, $P^{(n)}$ est le polynôme nul. Dérivées successives de l'inverse, du quotient, de la composée de fonctions.
II Formules de Taylor

1) Formule de Taylor pour les polynômes
Application à la caractérisation de la multiplicité des racines d'un polynôme.
2) Formule de Taylor avec reste intégral

vendredi 7 février 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercice 8)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 9,10,11,12,17)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Matrices en Scilab (2/2)

lundi 24 février 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 24 (suite et fin)
II Formules de Taylor

2) Formule de Taylor avec reste intégral
Conséquence : Si $f$ est de classe $C^n$ et $f^{(n)}$ est la fonction nulle, alors $f$ est une application polynômiale de degré au plus n-1.
3) Inégalité de Taylor-Lagrange
4) Applications
Preuve que ${\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}e^x}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Méthode de dérivation sous le signe intégral.
III Application à l’étude d’extrema locaux (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Extremum local et point critique
Condition nécessaire d’extremum local. Contre-exemples si on enlève des hypothèses.
2) Condition suffisante d’extremum local

mardi 25 février 2020 : (14h30-16h30)