Mathématiques ECS1B

mardi 1er septembre 2020 : (8h30-10h)

ACCUEIL.

mardi 1er septembre 2020 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements (poly à trous distribué en cours PDF)
I Éléments de logique

1) Proposition
Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
2) Propositions équivalentes
Table de vérité, exemples.
3) Négation, conjonction et disjonction de propositions
Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
4) Implication
Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
II Ensembles, éléments et quantificateurs

1) Notion d'ensemble et d'éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
2) Quantificateurs
Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.

mercredi 2 septembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 1 (suite)
II Ensembles, éléments et quantificateurs

3) Méthodes de preuve.
III Raisonnements usuels

1) Le raisonnement direct
Principe et exemple.
2) Le raisonnement par contraposition
Principe et exemple.
3) Le raisonnement par l'absurde
Principe et exemple.
4) Le raisonnement par disjonction des cas.
Principe et exemple.
5) Le raisonnement par analyse/synthèse
Principe et exemple

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 2,3)

vendredi 4 septembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 1 (suite et fin)
III Raisonnements usuels

4) Le raisonnement par récurrence
Rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 4,5,6)

COURS : Chapitre 2 : Propriétés des nombres réels
I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Existence admise des ensembles de nombres
2) Opérations dans $\mathbb{R}$
Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particuliers de $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$. Puissances entières. Identités remarquables.
3) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire.
II Parties majorées, parties minorées de $\mathbb{R}$
1) Majorants et minorants
2) Maximum et minimum
Unicité.

samedi 5 septembre 2020 : (8h-12h - cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 2 (suite et fin)
II Parties majorées, parties minorées de $\mathbb{R}$
2) Maximum et minimum
Exemples. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum. Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un maximum. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb{Z}$ admet un minimum.
3) Borne supérieure et borne inférieure
Théorème de la borne supérieure. Caractérisation de la borne supérieure/inférieure. Caractérisation des intervalles.
4) Partie entière d'un réel
III Racines d'un réel positif
1) Racine $n$-ième d’un réel positif
Définition, unicité, propriétés. Existence admise.
2) Résolution des équations du second degré à coefficients réels
Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$. Signe d'un trinôme.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercice 7)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 1,3,4,7,13)

lundi 7 septembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 3 : Sommes et produits de réels
I Résultats généraux sur les sommes et produits
1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
2) Sommes usuelles
Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques.
3) Propriétés de la somme et du produit
Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
4) Changement d'indice

mardi 8 septembre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 3 (suite)
I Résultats généraux sur les sommes et produits
5) Sommes et produits télescopiques
Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.
II Factorielles et coefficients binomiaux
1) Factorielle d'un entier
2) Coefficients binomiaux
Définition, propriétés. Formule de Pascal.
3) Formule du binôme de Newton

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 10,11,15,16,17)

mercredi 9 septembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,5,8)

vendredi 11 septembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
III Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Notion de somme double
Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
2) Le cas d'un domaine rectangulaire
3) Le cas d'un domaine triangulaire

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 3,6,12,13)

samedi 12 septembre 2020 : (10h-12h - cours supplémentaire)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 9,15,18,19,21)

lundi 14 septembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle (poly à trous distribué en cours PDF)
I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
1) Introduction
Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative. Fonctions affines et droites.
2) Opérations sur les fonctions
Somme, produit, multiplication, inverse, quotient, compositon.
3) Propriétés globales
Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels admis temporairement de Terminale S)
1) Limites
Définitions. Opérations sur les limites (cf. tableau en annexe du poly d'exercices). Composition de limite. Asymptotes.
2) Continuité
Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire (cas strictement monotone). Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.

mardi 15 septembre 2020 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 3 (suite)
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels admis temporairement de Terminale S)
3) Dérivabilité
Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones. 4) Tableau de variations
III Plan d'étude d'une fonction
IV Fonctions usuelles
1) Fonctions puissances d'un nombre entier
2) Les fonctions polynomiales et rationnelles
3) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
4) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
5) Puissances à exposant réel
Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel.

mardi 15 septembre 2020 : (10h-12h en demi-groupe) et mercredi 16 septembre 2020 (8h-10h en demi-groupe)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 18,20,21)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 3)

vendredi 18 septembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
IV Fonctions usuelles
5) Puissances à exposant réel
Exponentielle de base $a$.
6) Autres fonctions usuelles (valeur absolue, partie entière)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 2,4,5,8,10)

samedi 19 septembre 2020 : (8h-11h - cours supplémentaire)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 4,5,9)

COURS : Chapitre 4 - Nombres complexes et trigonométrie
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
1) L'ensemble des nombres complexes
Définition de $\mathbb{C}$. Vocabulaire. Addition et multiplication sur les complexes. Formule de développement, inverse d'un complexe non nul, puissances de $i$.
2) Sommes et produits de complexe.
3) Inégalités de complexes?
On ne définit pas de relation d'ordre sur $\mathbb{C}$.

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab (1/2)

lundi 21 septembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
3) Conjugué d'un nombre complexe
Définition et propriétés.
4) Module d'un nombre complexe
Définition et propriétés. Inégalité triangulaire.
5) Interprétation géométrique des nombres complexes
II Trigonométrie
1) Congruences sur $\mathbb{R}$
2) Cercle trigonométrique, cosinus, sinus
3) Formulaire de trigonométrie
4) Tangente
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1) Argument d’un nombre complexe non nul
Définition. Forme trigonométrique d'un complexe non nul

mardi 22 septembre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
2) Notation exponentielle
Définition et propriétés de l'exponentielle d'un imaginaire pur. Forme exponentielle d'un complexe non nul.
3) Applications à la trigonométrie
Formules de Moivre et d’Euler, à la technique de l'Arc-moitié et aux calculs de sommes de sinus et cosinus. Applications au développement de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ et à la linéarisation de $\cos^p(\theta)$, $\sin^q(\theta)$ et $\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)$.
IV Équations polynomiales du second degré dans $\mathbb{C}$
1) Trinôme du second degré à coefficients réels
2) Trinôme du second degré à coefficients complexes
Méthode pour déterminer une racine carrée d'un nombre complexe dans $\mathbb{C}$. Résolution des équation du second degré à coefficients complexes.

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 5,10,11,13,18)

mercredi 23 septembre 2020 (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercices 1,6,15,18,19)

INTERROGATION ECRITE

vendredi 25 septembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 4 (suite et fin)
V Autres équations polynômiales complexes
3) Racines $n$-ièmes d'un complexe
Racines de l'unité (conformément au programme d'ECS, les résultats concernant les racines $n$-ièmes de l'unité ne sont pas exigibles des étudiants mais elles pourront être étudiées comme exemples d'utilisation de la notation exponentielle). Polygones réguliers. Propriétés du complexe $j$. Racines de complexes non nuls.

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercices 1,3,10,13,14)

COURS : Chapitre 5 - Généralités sur les suites de nombres réels (poly à trous distribué en cours PDF)
I Notion de suite de nombres réels
1) Définitions
Notion de suite de nombres réels. Suites définies explicitement, par récurrence ou implicitement. Propriété vraie à partir d'un certain rang.
2) Opérations sur les suites
3) Propriétés générales
Monotonie. Suites majorées, minorées, bornées.
II Exemples de suites réelles
1) Suites arithmétiques
2) Suites géométriques
3) Suites arithmético-géométriques
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP1 : Découverte de Scilab (2/2)

lundi 28 septembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
II Exemples de suites réelles
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
Exemples.
III Limite d'une suite

1) Suite convergente
2) Suite tendant vers $\pm\infty$
3) Premières propriétés
Unicité de la limite d'une suite convergente. Premières propositions immédiates. Suites des termes de rangs pairs/impairs.
4) Exemples fondamentaux
Convergence des suites constantes et stationnaires. Convergence vers $0$ des suites $(1/n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\alpha>0$, $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]-1,1\mathclose[$. Convergence vers $+\infty$ des suites $(n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}}$ pour $\alpha>0$, $((\ln(n))^{\beta})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\beta>0$, $(n!)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]1,+\infty\mathclose[$.
5) Limites et relation d'ordre
Une suite réelle convergente est bornée. Une suite réelle qui tend vers $+\infty$ est minorée mais non majorée. Une suite réelle qui tend vers $-\infty$ est majorée mais non minorée.

mardi 29 septembre 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercices 17,21)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 5,6)

mercredi 30 septembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
III Limite d'une suite

5) Limites et relation d'ordre
Les inégalités strictes sur la limite entraîne les mêmes inégalités sur les termes de la suite à partir d'un certain rang. Les inégalités larges passent à la limite, mais pas les inégalités strictes.
6) Théorèmes d'encadrement
Théorème et conséquence. Application à la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.
IV Opérations sur les suites admettant une limite
1) Limite et composition par une fonction
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)
2) Limites et opérations algébriques
3) Formes indéterminées

vendredi 2 octobre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
IV Opérations sur les suites admettant une limite
4) Croissances comparées
V Limites de suites monotones
1) Théorème de la limite monotone
2) Suites adjacentes

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 9)

samedi 3 octobre 2020 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLÉ

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP2 : Programmes et fonctions en Scilab (1/2)

lundi 5 octobre 2020 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 1,9,11,12,13,14)

mardi 6 octobre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 6 (suite et fin) (poly à trous distribué en cours PDF)
VI Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$

1) Introduction
Points fixes. Si $f$ est continue et si la suite converge, alors la limite est un point fixe de $f$.
2) Exemple dans le cas où $f$ est croissante
3) Exemple dans le cas où $f$ est décroissante

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 15,16)

COURS : Chapitre 7 - Ensembles et applications (poly à trous distribué en cours PDF)
I Ensembles

1) Ensembles et éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension.
2) Parties d'un ensemble
Inclusion, double inclusion, transitivité. Ensemble vide. Ensemble des parties d'un ensemble.
3) Produits cartésiens et familles
Couples, $n$-uplet. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles. Notion de famille d'éléments d'un ensemble indexée par un ensemble.
II Opérations sur les parties d'un ensemble

1) Union et intersection
Définitions. Parties disjointes.

mercredi 7 octobre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 7 (suite)
II Opérations sur les parties d'un ensemble

1) Union et intersection
Propriétés (commutativité, associativité, distributivité, etc.). Parties disjointes. Cas d'une union et intersection d'une famille de parties. Exemples (dont le domaine de définition de la tangente).
2) Complémentaire
Définitions, propriétés. Loi de Morgan. Différence de deux ensembles.
III Applications

1) Notion d'application
Applications, images, antécédents, ensembles de départ et d'arrivée. Différence avec la notion de fonction. Egalité d'applications. Ensemble image. Application identité. Premiers exemples.
2) Composition d'applications
Applications composées. Associativité.

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 1

vendredi 9 octobre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 7 (suite et fin)
III Applications

3) Injections, surjections, bijections
Définitions. Définitions quantifiées. Méthodes de preuve. Nombreux exemples. Composition d'injections/surjections/bijections. Ensembles en bijection.
4) Réciproque d'une bijection
Application réciproque. Deux caractérisations de la bijectivité (existence de réciproque). Réciproque de la composée de bijections.

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 22)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP2 : Programmes et fonctions en Scilab (2/2)

lundi 12 octobre 2020 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 3,4,5)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 20)

mardi 13 octobre 2020 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 8,9,10,14)

COURS : Chapitre 8 - Élements de combinatoire
I Cardinal d’un ensemble fini

Définition intuitive. Définition avec la bijection. Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal. Le cardinal d'une partie d'un ensemble $E$ est inférieur au cardinal de $E$. Cas d'égalité.
II Principes de dénombrement

1) Principe additif
Cardinal de l'union disjointe d'une famille finie de parties. Principe additif. Cardinal du complémentaire. Formule de Poincaré pour deux ensembles finis.
2) Principe multiplicatif
Cardinal du produit cartésien d'une famille finie de parties. Principe multiplicatif. Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
III Listes, permutations, combinaisons

1) Listes
Notion de $p$-liste d'éléments d'un ensemble $E$ de cardinal $n$ (il s'agit d'élément de $E^p$). Il y en a $n^p$. Notion de $p$-liste d'éléments distincts d'un ensemble $E$ de cardinal $n$ (ou $p$-arrangement de $E$). Il y en a $n!/(n-p)!$.
2) Permutations
Une permutation de $E$ (ensemble de cardinal $n$) est une $n$-liste d'éléments distincts de $E$. Façons d'ordonner $n$ éléments. Il y en a $n!$.

mercredi 14 octobre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 8 (suite et fin)
III Listes, permutations, combinaisons

2) Permutations
Exemples
3) Combinaisons
On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie de $E$ de cardinal $p$. Lien avec les $p$ listes d'éléments distincts non-ordonnées éléments de $E$. Lien avec le choix de $p$ éléments de $E$. Lien avec un chemin réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions dans un arbre binaire. Il y en a $\displaystyle\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
4) Revisitons les propriétés des coefficients binomiaux
Démonstration combinatoire des formules usuelles sur les coefficients binomiaux, dont la formule de Pascal. Démonstration par récurrence de la formule du binôme de Newton.
5) Applications aux tirages

vendredi 16 octobre 2020 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 1,2,3,4,5,7)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 8,16)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP3 : Structures conditionnelles (1/2)

lundi 2 novembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 9 - Probabilités sur un univers fini (poly à trous distribué en cours PDF)
I Espaces probabilisés finis

1) Introduction
Notion d'expérience aléatoire. Premiers Exemples.
2) Espaces probabilisables finis
Espaces probabilisables finis. Univers. Evénements. Evénements élémentaires, certain, impossible. Evénéments incompatibles.
3) Opérations sur les événements
Evénement contraire. Réunion, intersection, complémentaire, inclusion d'événements. Evénements incompatibles. Rappels sur les opérations sur les ensembles. Système complet d'événements.
4) Systèmes complets d'événements
5) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Probabilité. Premières propriétés. Additivité finie. Probabilité de l'union de deux ou trois événements. Probabilités et systèmes complet d'événements. Equiprobabilité.

mardi 3 novembre 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercice 20)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercice 9)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 6,10)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 1,4,5)

mercredi 4 novembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 9 (suite)
I Espaces probabilisés finis

5) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Equiprobabilité : modélisation et exemple.
II Probabilité conditionnelle (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Définition et propriétés
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nul est une probabilité.
2) Formule des probabilités composées
3) Formule des probabilités totales
4) Formule de Bayes
III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Définition et modélisation.

vendredi 6 novembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 9 (suite et fin)
III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Lien avec les probabilités conditionnelles. Exemples et contre-exemples.
2) Famille d'événements indépendants
Indépendance deux à deux. Indépendance mutuelle. Théorème des coalitions.

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 8,12,18,20)

samedi 7 novembre 2020 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP3 : Structures conditionnelles (2/2)

TP4 : Structures répétitives : boucle for (1/3)

lundi 9 novembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 10 - Variables aléatoires finies (poly à trous distribué en cours PDF)
I Variable aléatoire réelle finie

1) Définitions et exemples
Notation $[X=x]$, $[x\leq x]$, etc. Système complet associé à une variable aléatoire réelle finie.
2) Loi d'une variable aléatoire
Différentes façons de représenter une loi. Egalité en loi (notation $X\overset{\mathscr{L}}{=}Y$). Existence de variable aléatoire réelle finie de loi donnée (notation $X\hookrightarrow \mathscr{L}$).
3) Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle finie.
Formule générale. Calcul de certaines probabilités à partir de la fonction de répartition. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert de variables aléatoires
Etude de transferts de variables aléatoires dans des cas particuliers.



mardi 10 novembre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 10 (suite)
I Variable aléatoire réelle finie

4) Transfert de variables aléatoires
Exemple.
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

1) Espérance
Plusieurs exemples. Propriété de positivité, linéarité, additivité. Notion de variable aléatoire centrée.
2) Formule de transfert
3) Variance et écart-type (poly à trous distribué en cours PDF)
Formule de Koenig-Huygens. Propriétés générales de la variance. Notion de variable aléatoire centrée réduite.


EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 3,13,19,21)



vendredi 13 novembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 10 (suite et fin)
III Lois finies usuelles (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Loi certaine
2) Loi uniforme
3) Loi de Bernoulli
4) Loi binomiale


ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 2


EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 1,6,12)

lundi 16 novembre 2020 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 4,8,10,14)

mardi 17 novembre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 11 - Étude locale de fonctions : limites et continuité en un point (poly à trous distribué en cours PDF)
I Limite et continuité en un point

Notion de voisinage
1) Limite finie en un point
Limite d'une fonction $f$ définie en un point $x_0$ de $I$ ou une éventuelle extrémité finie de $I$. Extension de la définition au cas où $f$ n'est pas définie en $x_0$. Limites à gauche et à droite. Unicité de la limite. Liens entre limite finies et limites à gauche et à droite en $x_0$ (cas où $f$ est définie ou non).
2) Continuité en un point
Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0\in I$, alors $\ell=f(x_0)$. On dit alors que $f$ est continue en $x_0$. Continuité à gauche et à droite. Liens entre continuité et continuité à gauche et à droite en $x_0$. Prolongement par continuité.
3) Limite infinie en un point de $\mathbb{R}$
Limite infinie, limite infinie à gauche, à doite.
4) Limites en $\pm\infty$
II Résultats généraux sur les limites

1) Théorèmes de composition des limites
Image d’une suite convergente par une fonction admettant une limite en $x_0$.

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 7,15,16)

mercredi 18 novembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 11 (suite)
II Résultats généraux sur les limites

1) Théorèmes de composition des limites
Limite et continuité d’une fonction composée
2) Limites et relations d'ordre
3) Opérations algébriques sur les limites
III Le théorème de la limite monotone pour les fonctions
IV Asymptotes et branches paraboliques
V Continuité en un point et limites de fonctions usuelles

1) Continuité en un point de fonctions usuelles
2)Limites de fonctions usuelles
3)Croissances comparées

vendredi 20 novembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 11 (suite et fin)
V Continuité en un point et limites de fonctions usuelles

3)Croissances comparées

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 1,2,6,7)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP4 : Structures répétitives : boucle for (2/3)

lundi 23 novembre 2020 : (13h-15h)

INTERROGATION ECRITE

COURS : Chapitre 12 - Étude globale de fonctions : continuité sur un intervalle
I Fonctions réelles continues sur un intervalle

1) Définition et exemples
Notation $C^0(I,\mathbb{R})$. Continuité des fonctions usuelles.
2) Opérations sur les fonctions continues
Opérations algébriques. Composée de fonctions continues.
3) Restriction de fonctions continues

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercice 13)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercice supplémentaire)

mardi 24 novembre 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercice supplémentaire)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercice 18)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 1,8)

mercredi 25 novembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 12 (suite)
II Le théorème des valeurs intermédiaires

L'image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Formulations équivalentes. Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas garde un signe constant.
III Le théorème des bornes atteintes

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (la preuve est reportée à vendredi). Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.
IV Le théorème de la bijection

1) Enoncé et démonstration
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ alors elle réalise une bijection de $I$ dans l'intervalle $f(I)$. La réciproque est alors continue et strictement monotone sur $f(I)$, de même monotonie que celle de $f$. Symétrie des courbes par rapport à la première bissectrice des axes.

vendredi 27 novembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 12 (suite et fin)
III Le théorème des bornes atteintes

Preuve du théorème
IV Le théorème de la bijection

2) Qu'est-ce que $f(I)$?
Forme de $f(I)$ lorsque $f$ est monotone sur l'intervalle $I$.
3) La fonction Arctangente

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 11)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 1,6)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 17)

samedi 28 novembre 2020 : (8h-12h - séance exceptionnelle)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 2,10,12,14,17)

COURS : Chapitre 13 - Dérivation (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivabilité en un point

1) Fonction dérivable en un point
Taux d'accroissement. Dérivée. Tangente à la courbe. Equation d'une droite du plan passant par deux points (rappel). Tangente verticale. Exemples des fonctions affines, carrée et racine carrée. La dérivabilité implique la continuité.
2) Dérivée à droite et à gauche
Notion de demi-tangente. Lien entre dérivabilité et dérivabilité à gauche et à droite.
3) Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Opérations algébriques. Dérivée d'une puissance entière de fonction. Dérivée d'une composée. Dérivée d'une réciproque. Lien entre les tangentes d'une bijection et celles de sa réciproque.
II Fonctions dérivées
1) Définitions
Fonction dérivable et fonction dérivée. Notation $D^1(I,\mathbb{R})$. Fonction de classe $C^1$. Notation $C^1(I,\mathbb{R})$.
2) Opérations sur les fonctions dérivables sur $I$
3) Dérivées usuelles
Fonctions puissances d'un nombre entier. Fonction $\mathrm{Arctan}$.

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP4 : Structures répétitives : boucle for (3/3)

lundi 30 novembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 13 (suite)
II Fonctions dérivées
3) Dérivées usuelles
Fonctions exponentielle, logarithme et puissances généralisées. Fonctions trigonométriques ($\cos$, $\sin$, $\tan$).
III Théorème de Rolle et accroissements finis

1) Extremum local et dérivée
2) Théorème de Rolle
3) Le théorème des accroissements finis
4) L’inégalité des accroissements finis



mardi 1er décembre 2020 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 4,5,7,8,14,18)



mercredi 2 décembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 13 (suite et fin)
III Théorème de Rolle et accroissements finis

4) L’inégalité des accroissements finis
Exemple : encadrement de la somme harmonique.
5) Applications à l’étude des suites récurrentes
IV Variations des fonctions dérivables

1) Le cas des fonctions monotones
2) Le cas des fonctions strictement monotones
V Retour sur les fonctions exponentielles et logarithme (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Exponentielle
2) Logarithme népérien
Avec notamment la preuve que $\smash[t]{\displaystyle\dfrac{\ln(x)}{x}\underset{x\to +\infty}{\longrightarrow}0}$.



vendredi 4 décembre 2020 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,2,4,14,16,20)



samedi 5 décembre 2020 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

---

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP5 : Structures répétitives : boucle while (1/2)

lundi 7 décembre 2020 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 3,8,11,13,17,20,21)

mardi 8 décembre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 14 - Intégration d’une fonction sur un segment
I Primitive d’une fonction continue

1) Notion de primitive
Unicité à une constante près. Unicité de la primitive s'annulant en un certain point.
2) Théorème fondamental
Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive (admis).
3) Primitives usuelles
II Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1) Définition
Définition en tant que différence des primitives de la fonction en chaque borne. Lien entre intégrale et primitive qui s'annule en un point.
2) Propriétés des intégrales
Relation de Chasles. Linéarité. Propriété de positivité (et cas d'une intégrale nulle). Propriété de croissance. Inégalité de la moyenne. Inégalité triangulaire.
III Calcul d’intégrales

1) Intégration par parties
Théorème et trois exemples.
2) Changement de variables

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercice 1,23)

mercredi 9 décembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 14 (suite)
III Calcul d’intégrales

1) Intégration par parties
Autre exemple.
2) Changement de variables
Formule de changement de variables. Méthodes. Trois exemples. Intégrales et parité.

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 3

vendredi 11 décembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 14 (suite)
IV Etude de fonctions définies par une intégrale (poly distribué en cours PDF)
V Sommes de Riemann à pas constant

1) Définitions
Somme de Riemann à gauche, à droite, au milieu.
2) Convergence des sommes de Riemann à pas constant
Preuve dans le cas $C^1$. Vitesse de convergence dans le cas $C^1$. Exemples.
3) Interprétation géométrique en terme d’aire : méthodes des rectangles et des trapèzes

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 1,2,3,4,6,7,8)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP5 : Structures répétitives : boucle while (2/2)

lundi 14 décembre 2020 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 14 (suite et fin)
VI Extension aux intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment
1) Notion de fonction continue par morceaux sur un segment
2) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3) Propriétés des intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 1,7,8,9,10,26)

mardi 15 décembre 2020 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 15 - Polynômes réels ou complexes
I Polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Ensemble $\mathbb{K}[X]$
Définition (les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ sont vus comme des applications polynômiales de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$). Notation $X^k$ pour la fonction $x\in \mathbb{K}\longmapsto x^k$. Notion de monôme. $\mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$. Les coefficients d'un polynômes de $\mathbb{K}[X]$ sont uniquement déterminés. Polynôme nul. Degré d'un polynôme. Ensembles $\mathbb{K}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$.
2) Opérations sur les polynômes
Somme, multiplication par un scalaire, produit, composition de polynômes. Formules sur le degré. Intégrité. Polynômes inversibles.
3) Dérivée d'un polynôme
II Division euclidienne de polynômes

1) Le théorème de la division euclidienne
Méthode Algorithmique. Exemple de la division euclidienne de $X^{2020}+1$ par $X^2+1$. Reste d'un polynôme par un polynôme de degré 1.
2) Divisibilité dans $\mathbb{K}[X]$
Diviseur et multiple. Exemples.

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 14,15,22,26)

mercredi 16 décembre 2020 (8h-10h)

COURS : Chapitre 15 (suite)
II Division euclidienne de polynômes

2) Divisibilité dans $\mathbb{K}[X]$
Propriétés générales.
III Racines d'un polynôme et factorisation

1) Définition et caractérisation
Définition. Lien avec la divisibilité. Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ admettant au moins $n+1$ racines distinctes est le polynôme nul. Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ admettant une infinité de racines est le polynôme nul. Caractérisation de l'égalité de deux polynômes en terme de racines. Exemple des polynômes de Tchebychev. Factorisation d'un polynôme de degré $n$ admettant exactement $n$ racines disctinctes.
2) Ordre de multiplicité d'une racine
Définition et exemples. Caractérisation. Cas d'une racine simple ou multiple.
3) Le théorème de D'Alembert-Gauss
4) Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$
Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ : tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{C}$ s'écrit comme produit de polynômes de degré $1$.

vendredi 18 décembre 2020 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 15 (suite et fin)
III Racines d'un polynôme et factorisation

4) Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$
Critère de divisibilité avec les racines. Exemples.
5) Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$
Racines complexes d'un polynôme à coefficent réel. Son conjuguée est encore une racine de même multiplicité. Tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré impair admet une racine réelle. Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{R}$ s'écrit comme produit de polynômes de degré 1 et de degré 2 de discriminants strictement négatifs. Méthodes de factorication.

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 11,12,28)

TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 13h à 14h)

TP6 : Méthode des rectangles

CONCOURS BLANC

vendredi 8 janvier 2020 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 24)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 1,4,9,17,18,27)

COURS : Chapitre 16 : Systèmes linéaires (poly distribué en cours PDF)
Intégralité du cours et exemples supplémentaires illustrant la méthode du pivot de Gauss.

lundi 11 janvier 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 2,5,8,9,20,23,27,30)

mardi 12 janvier 2021 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 6,13,15,19,27,28,29)

mercredi 13 janvier 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 17 - Matrices (poly distribué en cours PDF)
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Ensemble de matrices

Matrice à $n$ lignes de $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. Ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Matrices lignes, colonnes. Matrice nulle. Matrices élémentaires.
II Opérations sur les matrices

1) Opérations algébriques dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$
Somme de matrices, multiplication par un scalaire. Premières propriétés.
2) Produit matriciel
Définition. Méthode pratique de calcul. Associativité. Distributivité par rapport au produit. $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ n'est pas intègre. Produit d'une matrice par une vecteur colonne. Lien entre matrices et systèmes linéaires.
3) Transposée d'une matrice
III Matrices carrées

1) Définitions et exemples
Ensemble $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Matrice nulle. Matrice identité. Le produit n'est pas commutatif. Matrices qui commutent. Matrices diagonales, triangulaires supérieures et inférieures, symétriques, anti-symétriques.
2) Puissances de matrices carrées
Propriétés des puissances de matrices.

vendredi 15 janvier 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 17 (suite)
III Matrices carrées

2) Puissances de matrices carrées
Formule du binôme de Newton pour deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ qui commutent. Exemples d'application.
III Matrices carrées

3) Polynômes de matrices carrées
Définition et exemples. Notion de polynôme annulateur. Application au calcul des puissances successives d'une matrice carrée.
IV Matrices inversibles

1) Définitions et premières propriétés
2) Critères d'inversibilité (qui seront démontrés dans le chapitre 30 ou 31)
Une matrice inversible à gauche (resp. à droite) est inversible. Critère du noyau. Lien avec les systèmes de Cramer.
3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Cas des matrices triangulaires supérieures et des matrices diagonales. Cas des matrices d'ordre 2. Méthode de Gauss-Jordan.

samedi 16 janvier 2021 : (8h-12h séance exceptionnelle)

COURS : Chapitre 17 (suite et fin)
IV Matrices inversibles

3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Utilisation des polynômes annulateurs de matrices.
4) Utilisation d'inverses pour calculer des puissances

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 22,26)

EXERCICES : feuille de TD 16 (exercices 4,5)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 3,4,8,9,13,17)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Représentation graphique en Scilab (1/2)

lundi 18 janvier 2021 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 18 - Introduction aux espaces vectoriels
I Espaces vectoriels

1) Définition
2) Premières propriétés
3) Exemples usuels
Définition de l'addition et de la multiplication externe sur $\mathbb{K}^n$ et sur $\mathcal{F}(A,E)$ où $A$ est un ensemble quelconque et $E$ un $\mathbb{K}$-e.v. Les ensembles $\mathbb{K}^n$ et $\mathcal{F}(A,E)$ sont des $\mathbb{K}$-e.v (en particulier l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles est un $\mathbb{R}$-e.v et les ensembles $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$ sont des $\mathbb{K}$-e.v).
4) Combinaison linéaires de vecteurs
Notion de famille finie de vecteurs.

mardi 19 janvier 2021 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 6,12,14,19)

COURS : Chapitre 18 (suite)
II Sous-espaces vectoriels

1) Notion de sous-espace vectoriel
Exemples. Si $(E,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v et $F$ un s.e.v de $(E,+,\cdot)$, alors $(F,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v. Définitions équivalentes. Sous espace vectoriel de sous espace vectoriel.
2) Exemples usuels
3) Intersection de sous-espaces vectoriels
4) Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs




mercredi 20 janvier 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 18 (suite)
II Sous-espaces vectoriels

4) Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs
Exemples. Caractérisation de $\mathrm{Vect}(x_1,\cdots,x_n)$. Opérations élémentaires sur les vecteurs.

III Familles génératrices, familles libres, familles liées et bases

1) Familles génératrices
Défininition, exemples et méthodes.





vendredi 22 janvier 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 18 (suite et fin)
III Familles génératrices, familles libres, familles liées et bases

2) Familles liées, familles libres
Définitions. Vecteurs colinéaires. Exemples. Cas des familles échelonnées de polynômes
3) Bases
Coordonnées d'un vecteur dans une base. Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$.
EXERCICES : feuille de TD 17 (exercice 20)
EXERCICES : feuille de TD 18 (exercice 1)



samedi 16 janvier 2021 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

---

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Représentation graphique en Scilab (2/2)

lundi 25 janvier 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 1,9,10,12)

mardi 26 janvier 2021 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 1,3,4,6,11,16)

mercredi 27 janvier 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 19 - Analyse asymptotique
I Négligeabilité

1) Définition et premiers exemples
2) Comparaisons usuelles
Croissances comparées. Echelle des suites usuelles (vitesse de convergence).
3) Propriétés (poly à trous distribué en cours PDF)
Propriétés des suites négligeables (transitivité, multiplication par une constante non nulle, produits, sommes de mêmes petits o). Cas de la somme de petits o différents. Propriétés des fonctions négligeables (transitivité, multiplication par une constante non nulle, produits, sommes de mêmes petits o). Substitution par une fonction ou pas une suite dans un petit o. Attention : composition à gauche interdite.
II Equivalence

1) Définition et premiers exemples

vendredi 29 janvier 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 19 (suite et fin)
II Equivalence

2) Propriétés
Propriétés des suites équivalentes (Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Incompatibilité avec la somme). Propriétés des fonctions équivalentes (Lien avec les fonctions négligeables. Réflexivité, symétrie, transitivité. Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Incompatibilité avec la somme). Substitution par une fonction ou pas une suite dans un équivalent. Attention : composition à gauche interdite.
3) Équivalents usuels
Polynômes en $0$ et $+\infty$. Polynômes en $1/n$. Equivalents usuels en $0$ ($\ln(1+x)\sim x$, $e^{x}-1\sim x$, $(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$ si $\alpha\in \mathbb{R}^*$, $1-\cos(x)\sim\frac{x^2}{2}$, $\sin(x)\sim x$, $\tan(x)\sim x$ et $\mathrm{Arctan}(x)\sim x$). Formule de Stirling.
4) Exemples

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 7,15)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP7 : Matrices avec Scilab (1/2)

lundi 1er février 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 15)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 2,3,4,5)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS4

mardi 2 février 2021 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 7,8,9,10,11,14)

mercredi 3 février 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 20 - Dérivées successives et formules de Taylor (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivées successives

1) Définitions
Fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Notations $f^{(n)}$ et $D^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^n$ sur $I$. Notation $C^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $I$. Notation $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$. Dérivées successives de $\exp$, $\cos$, $\sin$, $x\longmapsto x^k$, $\ln$. Contre exemple.
2) Opérations sur les dérivées successives
$D^n(I,\mathbb{R})$, $C^n(I,\mathbb{R})$ et $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$ sont des $\mathbb{R}$-e.v. Formule de Leibniz. Si $P\in \mathbb{R}_p[X]$ alors, pour tout $n>p$, $P^{(n)}$ est le polynôme nul. Dérivées successives de l'inverse, du quotient, de la composée de fonctions. Les fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus, tangente et Arctangente sont de classe $C^{\infty}$ sur leur domaine de définition.
II Formules de Taylor

1) Formule de Taylor avec reste intégral
Conséquence : Si $f$ est de classe $C^n$ et $f^{(n)}$ est la fonction nulle, alors $f$ est une application polynômiale de degré au plus n-1. Exemple de preuve d'une inégalité.
2) Inégalité de Taylor-Lagrange

vendredi 5 février 2021 : (8h-11h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 24 (suite et fin)
II Formules de Taylor

4) Applications
Caractérisation de la multiplicité des racines d'un polynôme. Preuve que ${\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}e^x}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Méthode de dérivation sous le signe intégral.
III Application à l’étude d’extrema locaux

1) Extremum local et point critique
Condition nécessaire d’extremum local. Contre-exemples si on enlève des hypothèses.
2) Condition suffisante d’extremum local

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 1)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP7 : Matrices avec Scilab (2/2)

lundi 8 février 2021 : (13h-15h avec MA CLASSE A LA MAISON)

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 3,8,11,13,17)

mardi 9 février 2021 : (8h-12h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 21 - Développements limités
I Notion de développement limité

1) Développement limité en $0$
2) Développement limité en $x_0\in \mathbb{R}$
On se ramène toujours à un $\mathrm{DL}_n(0)$ de $h\longmapsto f(x_0+h)$.
3) Unicité du développement limité
4) Théorèmes d'existence de développement limité
La fonction $f$ admet un $\mathrm{DL}_0(0)$ (resp. un $\mathrm{DL}_1(0)$) si et seulement si $f$ est continue (resp. dérivable) en $0$. Une fonction admettant un $\mathrm{DL}_n(0)$ avec $n\geq 2$, n'est pas forcément $n$ fois dérivable en $0$. Formule de Taylor-Young.
II Développements limités usuels (Développements limités usuels en $0$)

$\mathrm{DL}_n(0)$ de ${x\mapsto \dfrac{1}{1-x}}$, ${x\mapsto \dfrac{1}{1+x}}$, $\exp$, $\sin$, $\cos$, $x\longmapsto -\ln(1-x)$, $x\longmapsto\ln(1+x)$, $x\longmapsto (1+x)^{\alpha}$ avec $\alpha\in \mathbb{R}$ (et cas particuliers), pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{DL}_8(0)$ de $\tan$. $\mathrm{DL}_n(0)$ d'un polynôme de degré $n$.
III Opérations sur les développements limités

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 10,14)

lundi 1er mars 2021 : (13h-15h) Congé paternité : cours assuré par Mme. Carchereux.

COURS : Chapitre 21 (suite et fin)
III Opérations sur les développements limités

1) Troncature
2) Linéarité
3) Produit
4) Multiplication, division et substitution par un monôme
Plus généralement, substitution (composition à droite) par un polynôme nul en $0$.
5) Primitivation et dérivation
IV Quelques applications des développements limités

1) Recherche d'équivalents et de limites
2) Position locale d'une courbe par rapport à sa tangente
3) Développements limités généralisés
Développements asymptotiques. Recherche d'asymptotes.

mardi 2 mars 2021 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes) Congé paternité : cours assuré par M. Jobin

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 7,18)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercice 4)

mercredi 3 mars 2021 : (8h-10h) Congé paternité : cours assuré par M. Sihrener

COURS : Chapitre 20 - Séries numériques
I Généralités sur les séries numériques

1) Définitions
Série. Terme général. Suite des sommes partielles. Nature d'une série. Somme d'une série convergente. Séries ayant la même nature. Expression du terme général d'une série en fonction des sommes partielles.
2) Exemples
Série à terme général constant. Série géométrique. Série harmonique. Série $\smash{\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^*}\dfrac{1}{n^2}}$. Série $\smash{\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^*}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}}$.
3) Premières propriétés des séries
La nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. Condition nécessaire de convergence. Série qui diverge grossièrement, série télescopique.
4) Reste d'une série convergente
5) Opérations sur les séries
L'ensemble des séries convergentes est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Somme d'une série convergente et d'une série divergente.
II Séries à termes positifs

1) Théorème de convergence des séries à termes positifs
Une série à termes positifs converge si et seulement la suite des sommes partielles est majorée.
2) Critères de congergence des séries à termes positifs
Cas où $u_n\leq v_n$, $u_n=o(v_n)$ et $u_n\sim v_n$. Exemples.

vendredi 5 mars 2021 : (8h-11h) Congé paternité : cours assuré par M. Sihrener

COURS : Chapitre 20 (suites)
II Séries à termes positifs

3) Séries de Riemann
Théorème de convergence. Point méthode sur la comparaison série/intégrale. Utilisation des séries de Riemann.
III Séries à termes de signe quelconque. Convergence absolue.

1) Séries absolument convergentes
La convergence absolue implique la convergence. Si la série est absolument convergente, l'ordre de sommation n'a pas d'importance.
2) Séries semi-convergentes
3) Séries géométriques dérivées

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 7,8)

lundi 8 mars 2021 : (13h-15h) Congé paternité : cours assuré par Mme. Stanisic.

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 7,9,12,14)

mardi 9 mars 2021 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes) Congé paternité : cours assuré par M. Dutilleul

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 2,4,5,14)

mercredi 10 mars 2021 : (8h-10h) Congé paternité : cours assuré par M. Sihrener

COURS : Chapitre 20 (suites)
III Séries à termes de signe quelconque. Convergence absolue.

3) Séries géométriques dérivées
4) Série exponentielle
Convergence absolue. Existence de la foncton exponentielle.

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 4)

vendredi 12 mars 2021 : (8h-11h) Congé paternité : cours assuré par M. Sihrener

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 1,4,6,7,8,14,16)

lundi 15 mars 2021 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 26 - Intégrales sur un intervalle quelconque
I Notion d’intégrale généralisée

1) Intégration sur un intervalle du type $[a,b\mathclose[$
Intégrale impropre en $b$. Intégrale généralisée convergente/divergente. Intégrales partielles. Exemples. Utilisation des primitives. Intégrale faussement impropre. La nature de l’intégrale généralisée ne dépend pas de la borne inférieure $a$ (tant que $f$ est continue en $a$) de l'intervalle.
2) Intégration sur un intervalle du type $\mathopen]a,b]$ (poly à trous distribué en cours PDF)
3) Intégration sur un intervalle du type $\mathopen]a,b\mathclose[$
4) Intégration sur un intervalle privé d'un nombre fini de points

II Propriétés des intégrales généralisées

1) Relation de Chasles
2) Linéarité

mardi 16 mars 2021 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 23 (suite)
II Propriétés des intégrales généralisées

3) Positivité et croissance
III Calculs d'intégrales généralisées

1) Intégration par parties et changement de variable
Il faudra systématiquement se ramener à un un segment puis passer à la limite.
2) Intégrales de référence
Les intégrales de Riemann $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}}$ et $ \int_{-\infty}^{-1}\frac{dt}{|t|^{\alpha}}$ convergent si et seulement si $\alpha>1$. L'intégrale de Riemann $\int_0^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha< 1$. Si $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ est tel que $a< b$, alors les intégrales de Riemann $ \int_a^{b}\frac{dt}{(b-t)^{\alpha}}$ et $\int_a^{b}\frac{dt}{(t-a)^{\alpha}}$ convergent si et seulement si $\alpha< 1$. Si $x\in \mathbb{R}_+$, alors l'intégrale $\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\,dt$ converge si et seulement si $\alpha>0$ et vaut alors $\frac{e^{-\alpha x}}{\alpha}$.
IV Critères de convergence d'intégrales de fonctions positives

1) Utilisation des intégrales partielles
2) Critères de comparaison
Comparaison des intégrales de fonctions positives avec des inégalités, des "petits o" et des équivalents.
EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 12,14,18,20)



mercredi 17 mars 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 23 (suite)
IV Critères de convergence d'intégrales de fonctions positives

3) Exemples
Intégrales de Bertrand.


EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 1,2,4)



vendredi 19 mars 2021 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 1,4,6)
COURS : Chapitre 26 (suite)
IV Critères de convergence d'intégrales de fonctions positives

3) Exemples
Intégrale de Gauss et application aux propriétés de Phi. Fonction $\Gamma$ (définition et premières propriétés).

---

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP8 : Résolution d'équations du type f(x)=0 (1/2)

lundi 22 mars 2021 : (13h-15h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 23 (suite et fin)
V Convergence absolue d'intégrale généralisées

La convergence absolue implique la convergence. Notion d'intégrale semi-convergentes. Exemple de l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}\,dt$.

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 9)

mardi 23 mars 2021 : (8h-12h avec MA CLASSE A LA MAISON)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 8,9,10)

TP D'INFORMATIQUE Résolution d'équations du type f(x)=0 (2/2)




mercredi 24 mars 2021 : (8h-10h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 24 - Probabilités sur un univers quelconque
I Introduction

1) Ensembles dénombrables
2) Tribu et événements
Motivation de l'introduction de la notion de tribu.
II Espaces probabilisables quelconques

Tribu. Espace probabilisable. Premières propriétés. Evenements deux à deux incompatibles. Systèmes complets d'événements. Tribu engendrée par un système complet d'événement.



vendredi 26 mars 2021 : (8h-11h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 24 (suite)
III Espaces probabilisés quelconques

1) Probabilité sur un espace probabilisable quelconque
$\sigma$-additivité. Probabilité. Premières propriétés. Cas particulier d'une probabilité sur un univers dénombrable.
2) Propriété de la limite monotone
3) Événement négligeable, événement presque sûr
Exemple d'une suite infinie de lancers de pièces.
IV Conditionnement et indépendance

1) Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nulle est une probabilité. Formule des probabilités composées. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes.




samedi 27 mars 2021 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

lundi 29 mars 2021 : (13h-15h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 23 (suite et fin)
IV Conditionnement et indépendance

2) Indépendance
IV Variables aléatoires réelles

1) Définitions et exemples
Si $X$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $[X\in I]\in \mathcal{A}$.
2) Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle
3) Loi d'une variable aléatoire réelle
La fonction de répartition caractérise la loi

mardi 23 mars 2021 : (8h-12h avec MA CLASSE A LA MAISON)

EXERCICES : feuille de TD 24 (exercices 1,4,5,8,10,13)

TP D'INFORMATIQUE Probabilités avec Scilab (1/6)




mercredi 24 mars 2021 : (8h-10h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 25 - Variables aléatoires discrètes
I Variables aléatoires réelles discrètes (v.a.r.d)

1) Définition
$X$ est une v.a.r.d sur $(\Omega,\mathcal{A})$ si et seulement si $X(\Omega)$ est au plus dénombrable et, pour tout $x\in X(\Omega)$, $[X=x]\in \mathcal{A}$.
2) Tribu engendrée par une variable aléatoire réelle discète
Système complet d'événements associé à $X$. Tribu engendrée par ce système complet.
3) Loi d'une v.a.r.d
La loi d'une v.a.r.d est entièrement caractérisée par la donnée de $X(\Omega)$ et de $\mathbb{P}(X=x)$ pour tout $x\in X(\Omega)$. Si $X(\Omega)\subset \mathbb{N}$, caractérisation par la donnée d'une suite $(p_n)_{n\in \mathbb{N}}$ à termes positifs telle que la série $\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}} p_n$ est convergente de somme $1$. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert d'une v.a.r.d
5) Variable aléatoire discrète à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}$
... ou comment montrer que $\mathbb{P}(X=+\infty)=0$ pour pouvoir se ramener à $X(\Omega)\subset \mathbb{R}$.
II Moments d'une variable aléatoire réelle discrète

1) Espérance d'une v.a.r.d
2) Propriétés de l'espérance d'une v.a.r.d
Positivité, linéarité
3) Théorème de transfert



vendredi 26 mars 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 25 (suite et fin)
II Moments d'une variable aléatoire réelle discrète

4) Moments d'ordre supérieur
Si $X$ admet un moment d'ordre $r\in \mathbb{N}^*$ alors, pour tout $k\leqslant r$, $X$ admet un moment d'ordre $k$.
5) Variances et écart type
III Variables aléatoires discrètes usuelles

1) Rappel : lois finies usuelles
Loi uniforme sur une partie finie, loi de Bernoulli, loi binomiale.
2) Loi géométrique
La v.a comptant le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ répétées indépendamment qui sont nécessaires pour obtenir le premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$. Fonction de répartition. Espérance. Variance. Loi sans mémoire.
3) Loi de Poisson
Espérance. Variance.


EXERCICES : feuille de TD 25 (exercices 1,10)

mardi 5 avril 2021 : (8h-12h avec MA CLASSE A LA MAISON)

EXERCICES : feuille de TD 25 (exercices 2,4,7,11,13,18)

mercredi 6 avril 2021 : (8h-10h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 30 : Fonctions convexes
I Préliminaires : arcs et cordes d'une fonction
II Fonctions convexes et concaves

1) Fonctions convexes
Une fonction est convexe si et seulement si tout arc de $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de sa corde. Exemples
2) Fonctions concaves
3) Généralisation de l’inégalité de convexité
Théorème général et corollaire : $f\left(\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\right)\leq \dfrac{f(x_1)+\dots+f(x_n)}{n}$.
4) Inégalités des pentes
Inégalités des pentes. Croissance des pentes.

III Fonctions convexes dérivables

1) Caractérisations des fonctions convexes dérivables
Si $f$ est dérivable, alors $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante si et seulement si $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes. Premiers exemples (exponentielle et logarithme).
2) Caractérisations des fonctions convexes deux fois dérivables
Exemples : sinus (avec inégalité $2x/\pi\leqslant sin(x)\leqslant x$ pour $x\in [0,\pi/2]$), cosinus, tangente, Arctangente et puissances généralisée.
4) Points d'inflexion

mercredi 6 avril 2021 : (13h-14h avec MA CLASSE A LA MAISON)

TP D'INFORMATIQUE Probabilités avec Scilab (2/6)

vendredi 8 avril 2021 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 26 (exercices 1,3,4,5,6,8)

EXERCICES : feuille de TD 25 (exercices 8,9,14)

lundi 26 avril 2021 : (8h-10h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 27 - Variables aléatoires à densité
I Généralités sur les variables aléatoires à densité

1) Définition
Une v.a.r $X$ est à densité si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^1$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Une v.a.r à densité n'admet pas d'atomes. Une v.a.r discrète n'est pas à densité. Caractérisation de la fonction de répartition d'une v.a.r à densité.
2) Notion de densité
Définition et exemples. Une densité caractérise la loi : calcul de $F_X$ à partir de la donnée d'une densité. Calcul de $\mathbb{P}(a < X\leq b)$. Caractérisation d'une densité (positive, continue sauf éventuellement en un nombre fini de points, son intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $1$). Interprétation graphique.
3) Transformation de variable aléatoires à densité
Cas d'une transformation affine.

mardi 27 avril 2021 : (8h-12h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 27 (suite)
I Généralités sur les variables aléatoires à densité

3) Transformation de variable aléatoires à densité
Exemples : passage au carré, au logarithme, à l'exponentielle, à la partie entière. Transformation d'une loi uniforme en loi exponentielle.
II Espérance d'une variable aléatoire à densité

1) Espérance
Définition et exemples. Propriété de positivité, de linéarité. Variable centrée.
2) Théorème de transfert
3) Moments d’une variable aléatoire à densité
Moments d'ordre supérieur. Variance. Ecart type. Propriérés de la variance (formule de Koenig-Huygens, etc.)

EXERCICES : feuille de TD 26 (exercices 9,10)

mercredi 28 avril 2021 : (8h-10h avec MA CLASSE A LA MAISON)

COURS : Chapitre 27 (suite)
III Lois de variables à densité usuelles

1) Loi uniforme
Densité et fonction de répartition d'une v.a de loi uniforme sur un segment $[a,b]$. Notation $\mathcal{U}([a,b])$. Si $U\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$, alors $X=(b-a)U+a \hookrightarrow \mathcal{U}([a,b])$. Espérance et variance.
2) Loi exponentielle
Densité et fonction de répartition d'une v.a de loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Notation $\mathcal{E}(\lambda)$. Si $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$, alors $Y=\frac{1}{\lambda}X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda)$. Espérance et variance. Calcul de $\int_{0}^{+\infty}xe^{-ax}\,dx$ et $\int_{0}^{+\infty}x^2e^{-ax}\,dx$ lorsque $a>0$. Propriété d'absence de mémoire.
3a) Loi Normale centrée réduite
Densité d'une v.a de loi Normale centrée réduite. Notation $\mathcal{N}(0,1)$. Fonction de répartition $\Phi$ d'une v.a de loi $\mathcal{N}(0,1)$. $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ et conséquences. Espérance et variance.

vendredi 30 avril 2021 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices 1,2,3,4,11)

COURS : Chapitre 27 (suite et fin)
III Lois de variables à densité usuelles

3b) Loi Normale
Densité d'une v.a de loi Normale de paramètres $m$ et $\sigma^2$. Notation $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$. Si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(m,\sigma^2)$, alors $X^*=\dfrac{X-m}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$. Espérance et variance. Calcul de $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2}\,dx$ lorsque $a>0$.

lundi 3 mai 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices 6,14)

mardi 4 mai 2021 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

mercredi 5 mai 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 28 - Applications linéaires
I Notion d'application linéaire

1) Définitions
Notation $\mathscr{L}(E,F)$. Forme linéaire, notation $E^*$. Endomorphisme, notation $\mathscr{L}(E)$. Isomorphisme. Automorphisme, notation $GL(E)$.
2) Premières propruétés
3) Exemples

II Opérations sur les applications linéaires

1) Restriction
2) Somme et multiplication par un scalaire
3) Composition
Puissances d'endomorphismes. Binôme de Newton.

vendredi 7 mai 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 28 (suite)
II Opérations sur les applications linéaires

3) Composition
Exemple d'application du binôme de Newton. Polynômes d'endomorphisme. Cas particulier des projecteurs.
4) Réciproque d'un isomorphisme
III Image et noyau d'une application linéaire

1) Image d'un s.e.v par une application linéaire
2) Image
3) Noyau
4) Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab (3/6)

lundi 10 mai 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices 9,15,16,13)

mardi 11 mai 2021 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 28 (suite et fin)
III Image et noyau d'une application linéaire

4) Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité
5) Le cas particulier des projecteurs
Si $p$ est un projecteur de $E$, alors $\mathrm{Im}(p)\cap\mathrm{Ker}(p)=\varnothing$ et $\mathrm{Id}_E$ est un projecteur, $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id}_E)$ et $\mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(p-\mathrm{Id}_E)$.
IV Théorème de caractérisation par l'image d'une base

Conditions pour que $(f(v_1),\dots,f(v_n))$ soit génératrice, libre, liée. Si $E$ admet une base $(e_1,\dots,e_n)$, alors une application linéaire $f$ est caractérisée par la donnée des images par $f$ des vecteurs de cette base. De plus $(f(e_1),\dots,f(e_n))$ est libre (resp. génératrice, resp. une base) si et seulement si $f$ est injective (resp. surjective, resp. bijective).

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 1,5,6,7,16)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercice 13)

mercredi 12 mai 2021 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 3,13,14)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab (4/6)

lundi 17 mai 2021 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 29 - Somme de sous-espaces vectoriels
I Notion de somme de sous-espaces vectoriels

1) Définition et exemples
2) Somme directe de sous-espaces vectoriels
Définition. Notation $\oplus$. CNS pour qu'une somme quelconque de s.e.v soit directe. Cas particulier pour deux s.e.v : la somme $F+G$ est directe ssi $F\cap G=\{0\}$.
3) Théorème de concaténation des bases

mardi 18 mai 2021 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 10,18,19)

mercredi 19 mai 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 29 (suite)
I Notion de omme de sous-espaces vectoriels

3) Théorème de concaténation des bases
II Supplémentaire et projection

1) Supplémentaire d'un sous-espace vectoriel
Définition et CNS. Utilisation d'un raisonnement par analyse/synthèse. Il n'y a pas unicité d'un supplémentaire en général.
2) Projections vectorielles
Définition et exemples. Si $p$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$, alors $p\in \mathcal{L}(E)$, $p\circ p=p$, $G=\mathrm{Ker}(p)$ et $F=\mathrm{Im}(p)$.

vendredi 21 mai 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 29 (suite et fin)
II Supplémentaire et projection

) Projections vectorielles
Une projection est un projecteur. Si $p$ est un projecteur de $E$, alors $E=\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p)$ et $p$ est la projection sur $\mathrm{Im}(p)$ parallèlement à $\mathrm{Ker}(p)$.

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 9)

EXERCICES : feuille de TD 29 (exercices )

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices supplémentaires)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab (5/6)

CONCOURS BLANC

lundi 8 juin 2020 : (13h-15h avec Ma classe à la maison)

COURS : Chapitre 30 : Espaces vectoriels de dimension finie
I Le théorème de l’échange
1) Compléments sur les familles libres et génératrices
2) Le théorème de l’échange
Si $\mathcal{L}$ est une famille libre constituée de $p$ vecteurs de $E$ et $\mathcal{G}$ une famille génératrice constituée de $n$ vecteurs de $E$. Alors $p\leqslant n$ et on peut remplacer $p$ des vecteurs de la famille $\mathcal{G}$ par les $p$ vecteurs de la famille $\mathcal{L}$ pour obtenir une nouvelle famille génératrice de $E$. Conséquence : si $E$ est engendré par $n$ vecteurs, alors toute famille formée d’au moins $n + 1$ vecteurs est liée.
II Dimension d’un espace vectoriel
1) Définition
Premiers exemples.
2) Existence de bases en dimension finie
Théorème d'existence de bases. Théorème de la base incomplète. Théorème de la base extraite.
3) Dimension d’un espace vectoriel
Toutes les bases d'un e.v $E$ de dimension finie admettent le même nombre de vecteurs. Ce nombre la dimension de E et noté $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(E)$. Exemples. Familles libres constituées de $\mathrm{dim}(E)$ vecteurs. Familles génératrices constituées de $\mathrm{dim}(E)$ vecteurs.
III Sous-espaces vectoriels et dimension
1) Dimension d’un sous-espace vectoriel
Dimension d'un s.e.v d'un espace vectoriel de dimension finie. Cas d'égalité. Critère d'égalités de deux s.e.v. Droites et plans vectoriels.

mercredi 3 juin 2020 : (8h-10h avec Ma classe à la maison)

COURS : Chapitre 30 (suite)
RECAPITULATIF DE LA SEANCE D'HIER
III Sous-espaces vectoriels et dimension
2) Rang d’une famille de vecteurs
3) Somme de sous-espaces vectoriels en dimension finie

vendredi 5 juin 2020 : (8h-12h avec Ma classe à la maison)

COURS : Chapitre 30 (suite)
III Sous-espaces vectoriels et dimension
4) Application aux suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
IV Applications linéaires en dimension finie
1) Image d’une famille de vecteurs par une application linéaire
2) Isomorphismes en dimension finie
3) Rang d’une application linéaire
Lien avec le rang de l'image d'une base. Théorème du rang. Si $\mathrm{dim}(E)=\mathrm{dim}(F)$, alors une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est surjective ssi elle est injective ssi elle est bijective.

COURS : Chapitre 30 (suite et fin)
IV Applications linéaires en dimension finie
4) Formes linéaires et hyperplans

lundi 31 mai 2021 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 30 : Espaces vectoriels de dimension finie
I Le théorème de l'échange
1) Compléments sur les familles libres et génératrices
2) Le théorème de l'échange
Si $\mathcal{L}$ est une famille libre constituée de $p$ vecteurs de $E$ et $\mathcal{G}$ une famille génératrice constituée de $n$ vecteurs de $E$. Alors $p\leqslant n$ et on peut remplacer $p$ des vecteurs de la famille $\mathcal{G}$ par les $p$ vecteurs de la famille $\mathcal{L}$ pour obtenir une nouvelle famille génératrice de $E$. Conséquence : si $E$ est engendré par $n$ vecteurs, alors toute famille formée d'au moins $n + 1$ vecteurs est liée.
II Dimension d'un espace vectoriel
1) Définition
Premiers exemples.
2) Existence de bases en dimension finie
Théorème d'existence de bases. Théorème de la base incomplète. Théorème de la base extraite.
3) Dimension d'un espace vectoriel
Toutes les bases d'un e.v $E$ de dimension finie admettent le même nombre de vecteurs. Ce nombre la dimension de E et noté $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(E)$. Exemples.

mardi 1er juin 2021 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 30 (suite)
II Dimension d'un espace vectoriel
3) Dimension d'un espace vectoriel
Familles libres constituées de $\mathrm{dim}(E)$ vecteurs. Familles génératrices constituées de $\mathrm{dim}(E)$ vecteurs.
III Sous-espaces vectoriels et dimension
1) Dimension d'un sous-espace vectoriel
Dimension d'un s.e.v d'un espace vectoriel de dimension finie. Cas d'égalité. Critère d'égalités de deux s.e.v. Droites et plans vectoriels.
2) Somme de sous-espaces vectoriels en dimension finie
Existence de supplémentaires en dimension finie. Bases adaptées à la décomposition et formule avec la dimension. Formule de Grassmann. CNS pour que deux sous-espaces vectoriels soient supplémentaires
3) Rang d'une famille de vecteurs
4) Application aux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

EXERCICES : feuille de TD 29 (exercices 1,4,10)

mercredi 2 juin 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 30 (suite)
IV Applications linéaires en dimension finie
1) Image d'une famille de vecteurs par une application linéaire
2) Isomorphismes en dimension finie
3) Rang d'une application linéaire
Lien avec le rang de l'image d'une base. Théorème du rang. Si $\mathrm{dim}(E)=\mathrm{dim}(F)$, alors une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est surjective ssi elle est injective ssi elle est bijective.
4) Formes linéaires et hyperplans

vendredi 4 juin 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 30 (suite et fin)
IV Applications linéaires en dimension finie
4) Formes linéaires et hyperplans

EXERCICES : feuille de TD 30 (exercices 1,2,4,5,7,13)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab (6/6)

lundi 7 juin 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 30 (exercices 14,15,16,18,24)

mardi 8 juin 2021 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 30 (exercices 12,26,27,28)

mercredi 9 juin 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 31 : Matrices et applications linéaires
I Codage matriciel en dimension finie
1) Matrice d’une famille de vecteurs en dimension finie
Définitions. Exemples. Si $\mathcal{B}$ est une base de $E$, un $\mathbb{K}$-e.v. de dimension $n$, l'application $(x_1,\dots,x_k)\in E^k\longmapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x_1,\dots,x_k)$ est un isomorphisme de $E^k$ dans $\mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{K})$. $\mathrm{dim}(E^k)=k\,\mathrm{dim}(E)$
2) Matrices d'une application linéaire
Matrice d'une application linéaire dans des bases. Exemples. Cas des matrices identités et des matrices nulles. L'application $f\in \mathscr{L}(E,F)\longmapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}(f)$ est un isomorphisme. $\mathrm{dim}(\mathscr{L}(E,F))=\mathrm{dim}(E)\mathrm{dim}(F)$. Décodage matriciel. Application linéaire canoniquement associée à une matrice.

vendredi 11 juin 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 31 (suite)
I Codage matriciel en dimension finie
2) Matrices d'une application linéaire
Cas des formes linéaires.
3) Matrices et image d’un vecteur par une application linéaire
4) Produit matriciel et composition d’applications linéaires
Lien entre produit matriciel et composition. Lien entre inverse de matrices et applications réciproques.
II Rang d’une matrice
Lien entre les différents notions de rang. Une matrice carrée $A$ de taille $n$ est inversible si et seulement si $\mathrm{rg}(A) = n$. $\mathrm{rg}(~\!^tA) =\mathrm{rg}(A)$. Le rang d’une matrice $A\in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$ est aussi le rang de la famille des $p$ vecteurs définis par les vecteurs lignes de $A$. Méthode de calcul du rang.
III Matrices carrées et endomorphismes
1) Puissance d’endomorphismes en dimension finie et matrices
2) Automorphismes en dimension finie et matrices inversibles
Matrice de la réciproque d'un automorphisme. Applications : critère du noyau, critère de l'image, inversibilité à gauche/droite, systèmes de Cramer.
3) Retour sur les polynômes d'endomorphismes et de matrice carrée
Existence d'un polynôme annulateur d'une matrice carrée. Existence d'un polynôme annulateur d'un endomosphisme en dimension finie.

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP11 : Convergences et approximation de variables aléatoires (1/2)

lundi 14 juin 2021 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 31 (exercices 1,3,5,7,11,12,13)

mardi 15 juin 2021 : (8h-12h)

INTERROGATION ECRITE

EXERCICES : feuille de TD 31 (exercices 12,14,15,18,19)

mercredi 16 juin 2021 : (8h-10h)

COURS : Chapitre final : Convergences et approximations de variables aléatoires
I Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
II Convergence en probabilité

1) Notion de convergence en probabilité
Notation ${X_n\overset{\mathbb{P}}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}}X}$.
2) La loi faible des grands nombres
Loi faible des grands nombres pour une loi binomiale : si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $\dfrac{X_n}{n}\overset{\mathbb{P}}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}}p$. Interprétation.

III Convergence en loi

1) Notion de convergence en loi
Notation ${X_n\overset{\mathscr{L}}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}}X}$. Cas particulier de la convergence en loi des v.a à valeurs dans $\mathbb{N}$.

vendredi 18 juin 2021 : (8h-11h)

COURS : Chapitre final (suite et fin)
III Convergence en loi

1) Notion de convergence en loi
Exemples.
2) Approximation Binomiale/Poisson
Si $np_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\lambda$ et si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une v.a de loi $\mathcal{P}(\lambda)$. Interprétation.
3) Le Théorème Central Limite (TCL)
Approximation Binomiale/Normale (cas particulier du TCL) : si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$ et ${X_n^*=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $(X_n^*)_{n\in \mathbb{N}}$ converge en loi vers une v.a de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
II Convergence en loi

3) Le Théorème Central Limite (TCL)
Approximation Binomiale/Normale (cas particulier du TCL). Approximation Poisson/Normale (cas particulier du TCL) : si $X_n\hookrightarrow \mathcal{P}(n\lambda)$ et ${X_n^*=\dfrac{X_n-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $(X_n^*)_{n\in \mathbb{N}}$ converge en loi vers une v.a de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Utilisation pratique de ces convergences (approximation de lois binomiales). Correction de continuité.

EXERCICES : feuille de TD 32 (exercices 1,2)

TP d'informatique (lundi de 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP11 : Convergences et approximation de variables aléatoires (2/2)

lundi 21 juin 2021 : (13h-15h)