Mathématiques ECS1B

mardi 22 mai 2018 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 29 (exercices 10,12,13,14)

jeudi 24 mai 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 29 (exercices 5,11,16)

COURS : Chapitre 30 (suite et fin)
II Fonctions convexes dérivables

1) Caractérisations des fonctions convexes dérivables
Premiers exemples (exponentielle et logarithme)
2) Caractérisations des fonctions convexes deux fois dérivables
3) Exemples
Fonctions puissances généralisée, cosinus, sinus (avec inégalité $2x/\pi\leqslant sin(x)\leqslant x$ pour $x\in [0,\pi/2]$), tangente et Arctangente.
4) Points d'inflexion

EXERCICES : feuille de TD 30 (exercices 4,6)

vendredi 25 mai 2018 : (8h-11h)

mardi 15 mai 2018 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

COURS : Chapitre 29 : Convergences et approximations de variables aléatoires

Rappel : inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
I Convergence en probabilité

1) Notion de convergence en probabilité
Notation ${X_n\overset{\mathbb{P}}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}}X}$.
2) La loi faible des grands nombres
Loi faible des grands nombres pour une loi binomiale : si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $\dfrac{X_n}{n}\overset{\mathbb{P}}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}}p$. Interprétation.

II Convergence en loi

1) Notion de convergence en loi
Notation ${X_n\overset{\mathscr{L}}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}}X}$. Cas particulier de la convergence en loi des v.a à valeurs dans $\mathbb{N}$. Exemples.

mercredi 16 mai 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 10,11,15)

COURS : Chapitre 29 (suite et fin)
II Convergence en loi

2) Approximation Binomiale/Poisson
si $np_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\lambda$ et si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une v.a de loi $\mathcal{P}(\lambda)$. Interprétation.
3) Le Théorème Central Limite (TCL)
Approximation Binomiale/Normale (cas particulier du TCL) : si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$ et ${X_n^*=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $(X_n^*)_{n\in \mathbb{N}}$ converge en loi vers une v.a de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Approximation Poisson/Normale (cas particulier du TCL) : si $X_n\hookrightarrow \mathcal{P}(n\lambda)$ et ${X_n^*=\dfrac{X_n-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, alors $(X_n^*)_{n\in \mathbb{N}}$ converge en loi vers une v.a de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Utilisation pratique de ces convergences (approximation de lois binomiales). Correction de continuité.

jeudi 17 mai 2018 : (8h-10h et 10h-12h en demi groupes)

RECAPITULATIF SUR LES VARIABLES ALEATOIRES

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 7,8)

samedi 19 mai 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 29 (exercices 1,3,7,9,12)

COURS : Chapitre 30 : Fonctions convexes
I Fonctions convexes et concaves

1) Définitions et premiers exemples
2) Interprétation géométrique
Une fonction est convexe si et seulement si tout arc de $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de sa corde.
3) Généralisation de l’inégalité de convexité
Théorème général et corollaire : $f\left(\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\right)\leq \dfrac{f(x_1)+\dots+f(x_n)}{n}$.
4) Inégalités des pentes
Inégalités des pentes. Croissance des pentes.

II Fonctions convexes dérivables

1) Caractérisations des fonctions convexes dérivables
Si $f$ est dérivable, alors $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante si et seulement si $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.

mercredi 9 mai 2018 : (10h-12h et 14h-16h30)

EXERCICES : préparation au DS 9

COURS : Chapitre 28 (suite et fin) (Poly à trous distribué en cours PDF)
II Espérance d'une variable aléatoire à densité

1) Espérance
Définition. Propriété de positivité, de linéarité. Variable centrée.
2) Théorème de transfert
3) Moments d’une variable aléatoire à densité
Moments d'ordre supérieur. Variance. Ecart type. Propriérés de la variance (formule de Koenig-Huygens, etc.)
III Lois de variables à densité usuelles

1) Loi uniforme
Densité et fonction de répartition d'une v.a de loi uniforme sur un segment $[a,b]$. Notation $\mathcal{U}([a,b])$. Si $U\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$, alors $X=(b-a)U+a \hookrightarrow \mathcal{U}([a,b])$. Espérance et variance.
2) Loi exponentielle
Densité et fonction de répartition d'une v.a de loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Notation $\mathcal{E}(\lambda)$. Si $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$, alors $Y=\frac{1}{\lambda}X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda)$. Espérance et variance. Propriété d'absence de mémoire.
3a) Loi Normale centrée réduite
Densité d'une v.a de loi Normale centrée réduite. Notation $\mathcal{N}(0,1)$. Fonction de répartition $\Phi$ d'une v.a de loi $\mathcal{N}(0,1)$. $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Espérance et variance.
3b) Loi Normale
Densité d'une v.a de loi Normale de paramètres $m$ et $\sigma^2$. Notation $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$. Si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(m,\sigma^2)$, alors $X^*=\dfrac{X-m}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$. Espérance et variance.

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 1,2)

vendredi 11 mai 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 28 (exercices 3,5,9,14)

INTERROGATION ECRITE (1h)

TP d'informatique (vendredi de 12h30 à 13h30 et de 15h30 à 16h30)

TP12 : Probabilités avec Scilab - B - Simulation et représentation de variables aléatoires réelles à densité

mercredi 2 mai 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices 1,4)

jeudi 3 mai 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices 1,3,4,6)

COURS : Chapitre 28 - Variables aléatoires à densité
I Généralités sur les variables aléatoires à densité

1) Définition
Une v.a. $X$ est à densité si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^1$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Une v.a. à densité n'admet pas d'atomes. Une v.a. discrète n'est pas à densité. Caractérisation de la fonction de réparition d'une v.a. à densité.
2) Notion de densité
Définition et exemples. Une densité caractérise la loi : calcul de $F_X$ à partir de la donnée d'une densité. Calcul de $\mathbb{P}(a < X\leq b)$. Caractérisation d'une densité (positive, continue sauf éventuellement en un nombre fini de points, son intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $1$). Interprétation graphique.

vendredi 4 mai 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercices 2,5,8)

COURS : Chapitre 28 (suite)
I Généralités sur les variables aléatoires à densité

3) Transformation de variable aléatoires à densité
Cas d'une transformation affine. Autres exemples : passage au carré, au logarithme, à l'exponentielle, à la partie entière.

mardi 10 avril 2018 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 26 (exercices 4,6,7,14)

COURS : Chapitre 27 - Intégrales sur un intervalle quelconque
I Notion d’intégrale généralisée

1) Intégration sur un intervalle du type $[a,b\mathclose[$
Intégrale impropre en $b$. Intégrale généralisée convergente/divergente. Intégrales partielles. Exemples. Utilisation des primitives. Intégrale faussement impropre. La nature de l’intégrale généralisée ne dépend pas de la borne inférieure $a$ (tant que $f$ est continue en $a$) de l'intervalle. Reste d'une intégrale convergente.

mercredi 11 avril 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 27 (suite)
I Notion d’intégrale généralisée

2) Intégration sur un intervalle du type $\mathopen]a,b]$
3) Intégration sur un intervalle du type $\mathopen]a,b\mathclose[$
4) Intégration sur un intervalle privé d'un nombre fini de points

II Propriétés des intégrales généralisées

1) Relation de Chasles
2) Linéarité
3) Positivité et croissance
III Calculs d'intégrales généralisées

1) Intégration par parties et changement de variable
Il faudra systématiquement se ramener à un un segment puis passer à la limite.
2) Intégrales de référence
L'intégrale de Riemann $\displaystyle \int_1^{+\infty}\dfrac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

jeudi 12 avril 2018 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 26 (exercices 5,12,15,16)

vendredi 13 avril 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 27 (suite)
III Calculs d'intégrales généralisées

2) Intégrales de référence
L'intégrale de Riemann $\displaystyle \int_0^{1}\dfrac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha< 1$. Si $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ est tel que $a< b$, alors les intégrales de Riemann $\displaystyle \int_a^{b}\dfrac{dt}{(b-t)^{\alpha}}$ et $\displaystyle\int_a^{b}\dfrac{dt}{(t-a)^{\alpha}}$ convergent si et seulement si $\alpha< 1$. L'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{\alpha x}\,dx$ converge si et seulement si $\alpha>0$ et vaut alors $\dfrac{1}{\alpha}$.
IV Critères de convergence d'intégrales généralisées

1) Le cas des fonctions positives
Utilisation des intégrales partielles. Comparaison des intégrales de fonctions positives avec des inégalités, des "petits o" et des équivalents. Exemple : définition et propriétés de la fonction $\Gamma$.
2) Convergence absolue
La convergence absolue implique la convergence. Notion d'intégrale semi-convergentes.
V Méthode d'étude d'intégrales généralisées (poly distribué en cours PDF)

EXERCICES : feuille de TD 27 (exercice 1,7)

samedi 14 avril 2018 : (8h-11h)

DEVOIR SURVEILLE

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP11 : Calcul approché d'intégrales

mardi 3 avril 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 26 - Développements limités
I Notion de développement limité

1) Développement limité en $0$
2) Développement limité en $x_0\in \mathbb{R}$
On se ramène toujours à un $\mathrm{DL}_n(0)$ de $h\longmapsto f(x_0+h)$.
3) Unicité du développement limité
4) Théorèmes d'existence de développement limité
La fonction $f$ admet un $\mathrm{DL}_0(0)$ (resp. un $\mathrm{DL}_1(0)$) si et seulement si $f$ est continue (resp. dérivable) en $0$. Une fonction admettant un $\mathrm{DL}_n(0)$ avec $n\geq 2$, n'est pas forcément $n$ fois dérivable en $0$. Formule de Taylor-Young.
II Développements limités usuels (Développements limités usuels en $0$ PDF)

$\mathrm{DL}_n(0)$ de $\exp$, $\sin$ et $\cos$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{DL}_8(0)$ de $\tan$.

mercredi 4 avril 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 26 (suite)
II Développements limités usuels

$\mathrm{DL}_n(0)$ de $x\longmapsto \dfrac{1}{1-x}$, $x\longmapsto \dfrac{1}{1+x}$, $x\longmapsto (1+x)^{\alpha}$ avec $\alpha\in \mathbb{R}$, $x\longmapsto -\ln(1-x)$, $x\longmapsto\ln(1+x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
III Opérations sur les développements limités

1) Troncature
2) Linéarité
3) Produit
4) Multiplication, division et substitution par un monôme

jeudi 5 avril 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 26 (exercices 5,7,8)

COURS : Chapitre 26 (suite)
III Opérations sur les développements limités

4) Multiplication, division et substitution par un monôme
Plus généralement, substitution (compositon à droite) par un polynôme nul en $0$.
5) Primitivation et dérivation
6) Compléments hors programme
Composition, inverse, parité.

vendredi 6 avril 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 26 (exercices 9,10,12,16)

COURS : Chapitre 26 (suite et fin)
III Quelques applications des développements limités

1) Recherche d'équivalents et de limites
2) Position locale d'une courbe par rapport à sa tangente
3) Développements limités généralisés
Développements asymptotiques. Recherche d'asymptotes.

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab - A - Simulation et représentation de variables aléatoires réelles discrètes (3)

mardi 27 mars 2018 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 23,26)

COURS : Chapitre 24 - Dérivées successives et formules de Taylor (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivées successives

1) Définitions
Fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Notations $f^{(n)}$ et $D^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^n$ sur $I$. Notation $C^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $I$. Notation $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$. Les fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus, tangente et Arctangente sont de classe $C^{\infty}$ sur leur domaine de définition. Contre exemple.
2) Opérations sur les dérivées successives
$D^n(I,\mathbb{R})$, $C^n(I,\mathbb{R})$ et $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$ sont des $\mathbb{R}$-e.v. Formule de Leibniz. Si $P\in \mathbb{R}_p[X]$ alors, pour tout $n>p$, $P^{(n)}$ est le polynôme nul. Dérivées successives de l'inverse, du quotient, de la composée de fonctions.
II Formules de Taylor

1) Formule de Taylor pour les polynômes
Application à la caractérisation de la multiplicité des racines d'un polynôme.

mercredi 28 mars 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 3,4,5,6,9)

jeudi 29 mars 2018 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 24 (suite)
II Formules de Taylor

2) Formule de Taylor avec reste intégral
Conséquence : Si $f$ est de classe $C^n$ et $f^{(n)}$ est la fonction nulle, alors $f$ est une application polynômiale de degré au plus n-1.
3) Inégalité de Taylor-Lagrange
Conséquence : preuve que $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}e^x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
III Application à l’étude d’extrema locaux (poly à trous distribué en cours PDF

1) Extremum local et point critique
Condition nécessaire d’extremum local. Contre-exemples si on enlève des hypothèses.
2) Condition suffisante d’extremum local

COURS : Chapitre 25 - Comparaison locale de fonctions (poly à trous distribué en cours PDF)
La lecture détaillée de ce cours, qui est analogue au chapitre 19, est à faire à la maison.

EXERCICES : feuille de TD 25 (exercices 1,2,3,4)

vendredi 30 mars 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 24 (exercices 7,10,12,13,15,16,17,19)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab - A - Simulation et représentation de variables aléatoires réelles discrètes (2)

mardi 20 mars 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 23 (suite)
II Application linéaire

3) Image et noyau d'une application linéaire
Image d'un s.e.v par une application linéaire. Image, notation $\mathrm{Im}(f)$, Noyau, notation $\mathrm{Ker}(f)$. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité avec le noyau et l'image.

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 1,6)

mercredi 21 mars 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 3,10,11)

COURS : Chapitre 23 (suite)
II Application linéaire

4) Image d'une famille de vecteurs par une application linéaire
$f(\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_n))=\mathrm{Vect}(f(v_1),\dots,f(v_n))$. Conditions pour que $(f(v_1),\dots,f(v_n))$ soit génératrice, libre, liée. Si $E$ admet une base $(e_1,\dots,e_n)$, alors une application linéaire $f$ est caractérisée par la donnée des images par $f$ des vecteurs de cette base. De plus $(f(v_1),\dots,f(v_n))$ est libre (resp. génératrice, resp. une base) si et seulement si $f$ est injective (resp. surjective, resp. bijective).

jeudi 22 mars 2018 : (en demi-groupes : 8h-10h et 10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 9,12,16,17,19)

vendredi 23 mars 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 23 (suite)
III Projection vectorielle et projecteur

Si $p$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$, alors $p\in \mathcal{L}(E)$, $p\circ p=p$, $G=\mathrm{Ker}(p)$ et $F=\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id}_E)$. Si $p$ est un projecteur de $E$, alors $E=\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p)$ et $p$ est la projection sur $\mathrm{Im}(p)$ parallèlement à $\mathrm{Ker}(p)$.

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 14,19,21,25)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP10 : Probabilités avec Scilab - A - Simulation et représentation de variables aléatoires réelles discrètes (1)

mardi 13 mars 2018 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 3,4,6,7,8,10)

mercredi 14 mars 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 23 - Compléments sur les espaces vectoriels
I Somme d'espaces vectoriels et supplémentaires

1) Somme de sous-espaces vectoriels
2) Somme directe de sous-espaces vectoriels
Définition. Notation $\oplus$. CNS pour qu'une somme quelconque de s.e.v soit directe. Cas particulier pour deux s.e.v : la somme $F+G$ est directe ssi $F\cap G=\{0\}$.
3) Supplémentaire d'un sous-espace vectoriel

jeudi 15 mars 2018 : (en demi-groupes : 8h-10h et 10h-12h)

CORRECTION DU DM 13 et PREPARATION DU DS7

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 13,16,17)

vendredi 16 mars 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 9,12)

COURS : Chapitre 23 (suite)
II Application linéaire

1) Définitions
Notation $\mathcal{L}(E,F)$. Forme linéaire, notation $E^*$. Endomorphisme, notation $\mathcal{L}(E)$. Isomorphisme. Automorphisme, notation $GL(E)$. Exemples : application nulle, identité, homothétie, etc.
2) Opérations sur les applications linéaires
Restriction. Somme. Multiplication par un scalaire. Composition. Puissances d'endomorphismes. Binôme de Newton. Polynômes d'endomorphisme. Réciproque d'un isomorphisme.

samedi 17 mars 2018 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE :

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP9 : Résolution de manière approchée de l'équation $f(x) = 0$ (2)

mardi 6 mars 2018 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 4,5,6,7)

mercredi 7 mars 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 8,11)

INTERROGATION ECRITE (INFO)

jeudi 8 mars 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 1,2,11,12)

COURS : Chapitre 22 - Variables aléatoires discrètes (poly distribué en cours PDF)
I Variables aléatoires réelles discrètes (v.a.r.d)

1) Définition
$X$ est une v.a.r.d sur $(\Omega,\mathcal{A})$ si et seulement si $X(\Omega)$ est au plus dénombrable et, pour tout $x\in X(\Omega)$, $[X=x]\in \mathcal{A}$.
2) Tribu engendrée par une variable aléatoire réelle discète
Système complet d'événements associé à $X$. Tribu engendrée par ce système complet.
3) Loi d'une v.a.r.d
La loi d'une v.a.r.d est entièrement caractérisée par la donnée de $X(\Omega)$ et de $\mathbb{P}(X=x)$ pour tout $x\in X(\Omega)$. Si $X(\Omega)\subset \mathbb{N}$, caractérisation par la donnée d'une suite $(p_n)_{n\in \mathbb{N}}$ à termes positifs telle que la série $\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}} p_n$ est convergente de somme $1$. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert d'une v.a.r.d
5) Variable aléatoire discrète à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}$
... ou comment montrer que $\mathbb{P}(X=+\infty)=0$ pour pouvoir se ramener à $X(\Omega)\subset \mathbb{R}$.
II Moments d'une variable aléatoire réelle discrète

1) Espérance d'une v.a.r.d
2) Propriétés de l'espérance d'une v.a.r.d
Positivité, linéarité, théorème de transfert.
3) Moments d'ordre supérieur
Si $X$ admet un moment d'ordre $r\in \mathbb{N}^*$ alors, pour tout $k\leqslant r$, $X$ admet un moment d'ordre $k$.
4) Variances et écart type
Définition. Formule de Koenig-Huygens, positivité, $\mathbb{V}(aX+b)=a^2\mathbb{V}(X)$ lorsque $X$ admet un moment d'ordre $2$.
5) Inégalités de Markov et Tchebychev

vendredi 9 mars 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 22 (suite)
II Moments d'une variable aléatoire réelle discrète

5) Inégalités de Markov et Tchebychev
III Variables aléatoires discrètes usuelles

1) Rappel : lois finies usuelles
Loi uniforme sur une partie finie, loi de Bernoulli, loi binomiale.
2) Loi géométrique
La v.a comptant le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ répétées indépendamment qui sont nécessaires pour obtenir le premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$. Fonction de répartition. Espérance. Variance. Loi sans mémoire.
3) Loi de Poisson
Espérance. Variance.

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 1,2,10)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP9 : Résolution de manière approchée de l'équation $f(x) = 0$ (1)

mardi 13 février 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 1,2,4,5,7,8,16)

jeudi 15 février 2018 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

vendredi 16 février 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 21 - Probabilités sur un univers quelconque (poly distribué en cours PDF)
I Introduction

1) Ensembles dénombrables
2) Tribu et événements
Motivation de l'introduction de la notion de tribu.
II Espaces probabilisables quelconques

Tribu. Espace probabilisable. Premières propriétés. Evenements deux à deux incompatibles. Systèmes complets d'événements. Tribu engendrée par un système complet d'événement.
III Espaces probabilisés quelconques

1) Probabilité sur un espace probabilisable quelconque
$\sigma$-additivité. Probabilité. Premières propriétés. Cas particulier d'une probabilité sur un univers dénombrable.
2) Propriété de la limite monotone

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercice 12)

samedi 17 février 2018 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 21 (suite)
III Espaces probabilisés quelconques

2) Propriété de la limite monotone
3) Événement négligeable, événement presque sûr
Exemple d'une suite infinie de lancers de pièces.
2) Tribu et événements
IV Conditionnement et indépendance

1) Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nulle est une probabilité. Formule des probabilités composées. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes.
2) Indépendance

IV Variables aléatoires réelles

1) Définitions et exemples
Si $X$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $[X\in I]\in \mathcal{A}$.
2) Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle
3) Loi d'une variable aléatoire réelle
La fonction de répartition caractérise la loi

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 10,11,17)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP8 : Matrices et systèmes en Scilab (2)

mardi 6 février 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercice 1,5,7,8,9,10,12)

EXERCICE DE PREPARATION AU DS

mercredi 7 février 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercice 13)

COURS : Chapitre 20 - Séries numériques
I Généralités sur les séries numériques

1) Définitions
Série. Terme général. Suite des sommes partielles. Nature d'une série. Somme d'une série convergente. Séries ayant la même nature. Expression du terme général d'une série en fonction des sommes partielles.
2) Exemples
Série à terme général constant. Série géométrique. Série harmonique. Série $\smash{\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^*}\dfrac{1}{n^2}}$.
3) Premières propriétés des séries
La nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. Condition nécessaire de convergence. Série qui diverge grossièrement.

jeudi 8 février 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 20 (suite)
I Généralités sur les séries numériques

3) Premières propriétés des séries
Série télescopique.
4) Reste d'une série convergente
5) Opérations sur les séries
L'ensemble des séries convergentes est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Somme d'une série convergente et d'une série divergente.

II Séries à termes positifs

1) Théorème de convergence des séries à termes positifs
Une série à termes positifs converge si et seulement la suite des sommes partielles est majorée.
2) Critères de congergence des séries à termes positifs
Cas où $u_n\leq v_n$, $u_n=o(v_n)$ et $u_n\sim v_n$.
3) Séries de Riemann

vendredi 9 février 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 20 (suite et fin)
II Séries à termes positifs

3) Séries de Riemann
Point méthode sur la comparaison série/intégrale. Utilisation des séries de Riemann.

III Séries à termes de signe quelconque. Convergence absolue.

1) Séries absolument convergentes
La convergence absolue implique la convergence. La réciproque est fausse. Séries semi-convergentes. Si la série est absolument convergente, l'ordre de sommation n'a pas d'importance.
2) Séries géométriques dérivées
3) Série exponentielle

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP8 : Matrices et systèmes en Scilab (1)

mardi 30 janvier 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 18 (suite et fin)
III Familles libres, familles génératrices et bases

2) Familles génératrices
3) Bases
Coordonnées d'un vecteur dans une base. Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}_n[X]$.

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercice 1,9)

mercredi 31 janvier 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercice 4,9,10,11,12)

jeudi 1er février 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercice 1,3,10,14,15)

COURS : Chapitre 19 - Étude asymptotique des suites
I Suite négligeable devant une autre

1) Définition et premiers exemples
2) Propriétés
Transitivité. Compatibilité avec le produit. Multiplication par une constante. Multiplication par une suite. Valeur absolue. Inverse. Cas de la somme de petits o.
3) Comparaison de suites usuelles
Croissances comparées. Echelle des suites usuelles (vitesse de convergence).

vendredi 2 janvier 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 19 (suite et fin)
I Suites équivalentes

1) Définition et premiers exemples
2) Propriétés
Lien avec les suites négligeables. Réflexivité, symétrie, transitivité. Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Multiplication par une constante non nulle. Valeur absolue. Inverse.
3) Équivalents usuels
Polynômes en $n$ ou $1/n$. Si $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $0$, alors $\ln(1+u_n)\sim u_n$, $e^{u_n}-1\sim u_n$, $(1+u_n)^{\alpha}-1\sim \alpha u_n$ si $\alpha\in \mathbb{R}^*$, $1-\cos(u_n)\sim\frac{u_n^2}{2}$, $\sin(u_n)\sim u_n$, $\tan(u_n)\sim u_n$ et $\mathrm{Arctan}(u_n)\sim u_n$. Formule de Stirling.

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercice 2)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP7 : Représentation graphique en Scilab (2)

mardi 23 janvier 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 17 (suite et fin)
IV Matrices inversibles

3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Cas des matrices d'ordre 2. Utilisation des polynômes annulateurs de matrices. Méthode de Gauss-Jordan.

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercice 9)

mercredi 24 janvier 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 7,10,15,17)

jeudi 25 janvier 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 13,14,16,19)

COURS : Chapitre 18 - Introduction aux espaces vectoriels
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Espaces vectoriels

1) Définitions et premières propriétés
2) Exemples usuels
Définition de l'addition et de la multiplication externe sur $\mathbb{K}^n$ et sur $\mathcal{F}(A,E)$ où $A$ est un ensemble quelconque et $E$ un $\mathbb{K}$-e.v. Les ensembles $\mathbb{K}^n$ et $\mathcal{F}(A,E)$ sont des $\mathbb{K}$-e.v (en particulier l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles est un $\mathbb{R}$-e.v et les ensembles $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$ sont des $\mathbb{K}$-e.v).
3) Combinaison linéaires de vecteurs
Notion de famille finie de vecteurs.

vendredi 26 janvier 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 18 (suite)
II Sous-espaces vectoriels

1) Notion de sous-espace vectoriel
Définitions équivalentes. Si $(E,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v et $F$ un s.e.v de $(E,+,\cdot)$, alors $(F,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v.
2) Exemples usuels
3) Intersection de sous-espaces vectoriels
4) Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs
Caractérisation de de $\mathrm{Vect}(x_1,\cdots,x_n)$. Opérations élémentaires sur les vecteurs.

III Familles libres, familles génératrices et bases

1) Familles liées, familles libres
Définitions. Vecteurs colinéaires. Exemples.

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP7 : Représentation graphique en Scilab (1)

mardi 16 janvier 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 17 - Matrices (poly distribué en cours PDF)
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Ensemble de matrices

Matrice à $n$ lignes de $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. Ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Matrices lignes, colonnes. Matrice nulle. Matrices élémentaires.
II Opérations sur les matrices

1) Opérations algébriques dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$
Somme de matrices, multiplication par un scalaire. Premières propriétés.
2) Produit matriciel
Définition. Méthode pratique de calcul. Associativité. Distributivité par rapport au produit. $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ n'est pas intègre. Produit d'une matrice par une vecteur colonne. Lien entre matrices et systèmes linéaires.
3) Transposée d'une matrice
III Matrices carrées

1) Définitions et exemples
Ensemble $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Matrice nulle. Matrice identité. Le produit n'est pas commutatif. Matrices qui commutent. Matrices diagonales, triangulaires supérieures et inférieures, symétriques, anti-symétriques.
2) Puissances de matrices carrées
Propriétés des puissances de matrices. Formule du binôme de Newton pour deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ qui commutent.

mercredi 17 janvier 2018 : (10h-12h)

CORRECTION DU DM 9

COURS : Chapitre 17 (suite)
III Matrices carrées

2) Puissances de matrices carrées
Exemple d'application de la formule du binôme de Newton pour les matrices.
3) Polynômes de matrices carrées
Définition et exemples. Notion de polynôme annulateur. Application au calcul des puissances successives d'une matrice carrée.
IV Matrices inversibles

1) Définitions et premières propriétés
2) Critères d'inversibilité (qui seront démontrés dans le chapitre 30 ou 31)
Une matrice inversible à gauche (resp. à droite) est inversible. Critère du noyau. Lien avec les systèmes de Cramer.
3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Cas des matrices triangulaires supérieures et des matrices diagonales.

vendredi 19 janvier 2018 : (8h-11h)

DEVOIR SURVEILLE 5

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Fonctions en Scilab (2)

mardi 9 janvier 2018 : (8h-10h et 13h30-14h30)

COURS : Chapitre 15 - Polynômes réels ou complexes
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

1) Ensemble $\mathbb{K}[X]$
Définition (les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ sont vus comme des applications polynômiales de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$). Monôme. $\mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$. Les coefficients d'un polynômes de $\mathbb{K}$ sont uniquement déterminés.
2) Opérations algébriques
3) Degré d'un polynôme
Notion de degré. Degré d'une somme, d'un produit, d'une composée de polynômes. Intégrité. Polynômes inversibles. Notation $\mathbb{K}_n[X]$.
4) Dérivée d'un polynôme
II Division euclidienne de polynômes

1) Le théorème de la division euclidienne
Méthode Algorithmique (exemple). Preuve de l'unicité.

mercredi 10 janvier 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 15 (suite)
II Division euclidienne de polynômes

1) Le théorème de la division euclidienne
Preuve de l'existence. Cas particulier d'un polynôme par un polynôme de degré 1.
2) Divisibilité dans $\mathbb{K}[X]$
Diviseur et multiple. Propriétés générales. Polynômes irréductibles dans $\mathbb{K}[X]$.
III Racines d'un polynôme

1) Définition et caractérisation
Définition. Lien avec la divisibilité. Tout polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines deux à deux distinctes. Caractérisation de l'égalité de deux polynômes en terme de racines.
2) Ordre de multiplicité d'une racine

jeudi 11 janvier 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 1,2,6,7,9,11,12)

COURS : Chapitre 15 (suite et fin)
2) Ordre de multiplicité d'une racine
Caractérisation d'une racine simple
3) Le théorème de D'Alembert-Gauss
Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$.
4) Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$

vendredi 12 janvier 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 15,16,18,19,20)

samedi 13 janvier 2018 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 20,21,22,23)

COURS : Chapitre 16 : Systèmes linéaires (poly distribué en cours PDF)
Intégralité du cours et exemples supplémentaires illustrant la méthode du pivot de Gaus.

EXERCICES : feuille de TD 16 (exercices 6)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Fonctions en Scilab (1)

lundi 18 décembre 2017 : (10h-12h)

ELEMENTS DE CORRECTION DU CONCOURS BLANC

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,12,16)

mardi 19 décembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre Hors Série - Fonctions exponentielle et logarithme népérien

Les paragraphes I, II et III seront proposés en DM à faire pendant les vacances.
IV Croissances comparées

COURS : Chapitre 14 - Intégration d’une fonction sur un segment
I Primitive d’une fonction continue

1) Notion de primitive
Unicité à une constante près. Unicité de la primitive s'annulant en un certain point.
2) Théorème fondamental
Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive (admis).
3) Primitives usuelles (formulaire PDF)
II Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1) Définition
Définition en tant que différence des primitives de la fonction en chaque borne.
2) Propriétés des intégrales
Relation de Chasles. Linéarité. Positivité (et d'une intégrale nulle). Croissance. Inégalité de la moyenne. Inégalité triangulaire.
3) Fonctions définies par une intégrale
4) Extension au cas des fonctions continues par morceaux (poly distribué en cours PDF)
III Calcul d’intégrales

1) Intégration par parties

mercredi 20 décembre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 14 (suite)
III Calcul d’intégrales

2) Changement de variables
Formule de changement de variables. Exemples. Intégrales et parité.

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 1,4)

jeudi 21 décembre 2017 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 6,7,8,12,16,18)

COURS : Chapitre 14 (suite)
IV Sommes de Riemann à pas constant

1) Définitions
Somme de Riemann à gauche, à droite, au milieu.
2) Convergence des sommes de Riemann à pas constant
Preuve dans le cas $C^1$. Vitesse de convergence dans le cas $C^1$. Exemples.
3) Méthode des rectangles : interprétation géométrique en terme d’aire (poly distribué en cours PDF)

vendredi 22 décembre 2017 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 3,10,13,19,20)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP5 : Structures répétitives : boucle while (2)

CONCOURS BLANC

mardi 4 décembre 2017 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 12,13,19)

COURS : Chapitre 13 - Dérivation d’une fonction réelle à valeurs réelles (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivabilité en un point

1) Fonction dérivable en un point
Taux d'accroissement. Dérivée. Tangente à la courbe. Equation d'une droite du plan passant par deux points (rappel). Tangente verticale. Exemples des fonctions affines, carrée et racine carrée. La dérivabilité implique la continuité. Développement limité d'ordre $1$.
2) Dérivée à droite et à gauche
Notion de demi-tangente. Lien entre dérivabilité et dérivabilité à gauche et à droite.
3) Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Opérations algébriques. Dérivée d'une puissance entière de fonction. Dérivée d'une composée. Dérivée d'une réciproque. Lien entre les tangentes d'une bijection et celles de sa réciproque.
II Fonctions dérivées
1) Définitions
Fonction dérivable et fonction dérivée. Notation $D^1(I,\mathbb{R})$. Fonction de classe $C^1$. Notation $C^1(I,\mathbb{R})$. Dérivées successives, fonction de classe $C^k$ et $C^{\infty}$.
2) Opérations sur les fonctions dérivables sur $I$
3) Dérivées usuelles
Fonctions puissances d'un nombre entier. Fonction racine $n$-ième.

jeudi 6 décembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 13 (suite)
II Fonctions dérivées
3) Dérivées usuelles
Fonctions trigonométriques ($\cos$, $\sin$, $\tan$, $\mathrm{Arctan}$).
III Théorème de Rolle et accroissements finis

1) Extremum local et dérivée
2) Théorème de Rolle
3) Le théorème des accroissements finis
4) L’inégalité des accroissements finis
5) Prolongement d’une dérivée
6) Applications à l’étude des suites récurrentes
IV Variations des fonctions dérivables

Lien entre variation d'une fonction dérivable sur un intervalle et le signe de sa dérivée.

vendredi 7 décembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 13 (suite et fin)
IV Variations des fonctions dérivables

Cas de la stricte monotonie.

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,3,7,9,11,15)

mardi 28 novembre 2017 : (8h-10h)

DEVOIR SURVEILLÉ

mercredi 29 novembre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 11 (fin)
V Continuité en un point et limites de fonctions usuelles

Démonstrations

COURS : Chapitre 12 - Étude globale de fonctions : continuité sur un intervalle
I Fonctions réelles continues sur un intervalle

1) Définition et exemples
Notation $C^0(I,\mathbb{R})$. Continuité des fonctions usuelles.
2) Opérations sur les fonctions continues
Opérations algébriques. Composée de fonctions continues. Théorème de convergence vers un point fixe.
3) Restriction de fonctions continues
4) Fonctions continues par morceaux

jeudi 30 novembre 2017 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 5,7,9,11)

vendredi 1er novembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 12 (suite)
II Théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Formulation équivalentes. Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas garde un signe constant.
III Image d’un segment par une fonction continue

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.
IV Le théorème de la bijection

1) Enoncé du théorème de la bijection
Forme de $f(I)$ lorsque $f$ est monotone sur l'intervalle $I$.

samedi 2 novembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 12 (suite et fin)
IV Le théorème de la bijection

2) La fonction Arctangente

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 1,4,5,6,7,8,9,10,15,16,18)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP5 : Structures répétitives : boucle while (1)

mardi 21 novembre 2017 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 10,15,16)

mercredi 22 novembre 2017 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 10,13)

COURS : Chapitre 11 - Étude locale de fonctions : limites et continuité en un point (poly à trous distribué en cours PDF)
I Limite et continuité en un point

1) Notion de voisinage
2) Limite finie en un point
Limite d'une fonction $f$ définie en un point $x_0$ de $I$ ou une éventuelle extrémité finie de $I$. Extension de la définition au cas où $f$ n'est pas définie en $x_0$.
3) Premières propriétés
Unicité de la limite. Développement limité à l’ordre 0
4) Continuité en un point
Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0\in I$, alors $\ell=f(x_0)$. On dit alors que $f$ est continue en $x_0$. Prolongement par continuité.
5) Limite et continuité à gauche et à droite
Liens entre limite finies et limites à gauche et à droite en $x_0$ (cas où $f$ est définie ou non).

jeudi 23 novembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 11 (suite)
I Limite et continuité en un point

5) Limite et continuité à gauche et à droite
Liens entre continuité et continuité à gauche et à droite en $x_0$.
6) Limite infinie en un point de $\mathbb{R}$
Limite infinie, limite infinie à gauche, à doite.
7) Limites en $\pm\infty$
II Résultats généraux sur les limites

1) Théorèmes de composition des limites
Image d’une suite convergente par une fonction admettant une limite en $x_0$. Limite et continuité d’une fonction composée
2) Limites et relations d'ordre
3) Opérations algébriques sur les limites
III Le théorème de la limite monotone pour les fonctions
IV Asymptotes et branches paraboliques (poly distribué en cours PDF)
V Continuité en un point et limites de fonctions usuelles

vendredi 24 novembre 2017 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 1,2,3,4)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures répétitives : boucle for (2)

mardi 14 novembre 2017 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 9,14,15)

INTERRO

mercredi 15 novembre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 10 - Variables aléatoires finies (poly à trous distribué en cours PDF)
I Variable aléatoire réelle finie

1) Définitions et exemples
Notation $[X=x]$, $[x\leq x]$, etc. Système complet associé à une variable aléatoire réelle finie.
2) Loi d'une variable aléatoire
Différentes façons de représenter une loi. Egalité en loi (notation $X\overset{\mathscr{L}}{=}Y$). Existence de variable aléatoire réelle finie de loi donnée (notation $X\hookrightarrow \mathscr{L}$).
4) Transfert de variables aléatoires
Premier exemple.

jeudi 16 novembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 10 (suite)
I Variable aléatoire réelle finie

3) Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle finie.
Formule générale. Calcul de certaines probabilités à partir de la fonction de répartition. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert de variables aléatoires
Etude de transferts de variables aléatoires dans des cas particuliers.
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

1)Espérance
Définition et exemple. Propriété de positivité, linéarité, additivité. Théorème de transfert.
2) Variation et écart-type
Formule de Koenig-Huygens. Propriétés générales de la variance. Notion de variable aléatoire centrée réduite.
III Lois finies usuelles (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Loi certaine
2) Loi uniforme
3) Loi de Bernoulli
4) Loi binomiale

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercice 2)

vendredi 17 novembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 10 (suite et fin)
III Lois finies usuelles (poly à trous distribué en cours PDF)

4) Loi binomiale
Calcul de l'espérance et la variance d'une variable aléatoire de loi de binomiale.

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 1,2,5,6,7,11,15)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures répétitives : boucle for (1)

mardi 6 novembre 2017 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 4,6,7,10)

mercredi 7 novembre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 9 - Probabilités sur un univers fini (poly à trous distribué en cours PDF)
I Espaces probabilisés finis

1) Introduction
Notion d'expérience aléatoire. Premiers Exemples.
2) Espaces probabilisables finis
Espaces probabilisables finis. Univers. Evénements. Evénements élémentaires, certain, impossible. Evénéments incompatibles.
3) Opérations sur les événements
Evénement contraire. Réunion, intersection, complémentaire, inclusion d'événements. Evénements incompatibles. Rappels sur les opérations sur les ensembles. Système complet d'événements.
4) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Probabilité. Premières propriétés. Additivité finie. Probabilité de l'union de deux ou trois événements. Probabilités et systèmes complet d'événements. Equiprobabilité.

jeudi 8 novembre 2017 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 1,2,3,4)

COURS : Chapitre 9 (suite) (poly à trous distribué en cours PDF)
II Probabilité conditionnelle

1) Définition et propriétés
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nul est une probabilité.
2) Formule des probabilités composées
3) Formule des probabilités totales
4) Formule de Bayes

III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Définition. Exemples et contre-exemples. Lien avec les probabilités conditionnelles.
2) Famille d’événements indépendants
Indépendance deux à deux. Indépendance mutuelle. Théorème des coalitions.
3) Schéma de Bernoulli, schéma binomial

vendredi 9 novembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 9 (suite)
Quelques exemples supplémentaires.

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 7,8,9,11,17)

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures conditionnelles (2)

mardi 17 octobre 2017 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 3,4,5,7,8)

COURS : Chapitre 7 (suite)
III Applications injectives, surjectives, bijectives

2) Applications surjectives
Composition de surjections.
3) Applications bijectives
Définition. Exemples. Composition de bijections. Ensembles en bijection. Application réciproque.

mercredi 18 octobre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 7 (suite)
III Applications injectives, surjectives, bijectives

3) Applications bijectives
Caractérisation de la bijection. Réciproque de la composée de bijections.

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 1,10)

jeudi 19 octobre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 8 - Complément de combinatoire (poly à trous distribué en cours PDF)
I Cardinal d’un ensemble

1) Ensemble fini et cardinal
Définition intuitive. Définition avec la bijection. Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal. Le cardinal d'une partie d'un ensemble $E$ est inférieur au cardinal de $E$.
2) Ensembles infinis
Définition des ensemble infinis et des ensembles dénombrables.
II Dénombrement

1) Dénombrement des ensembles finis
Cardinal de l'union disjointe d'une famille finie de parties. Lemme des bergers. Cardinal du complémentaire. Formule de Poincaré pour deux et pour trois ensembles finis. Cardinal d'un produit cartésien. Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
2) Listes, arrangements et permutations
Listes de $p$-éléments d'un ensemble fini $E$. Arrangement de $p$ éléments de $E$. Nombre d'arrangements. Permutation de $E$. Nombre de permutations.
3) Combinaisons
On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie de $E$ de cardinal $p$. Lien avec les arrangement non-ordonné de $p$ éléments de $E$.. Lien avec le choix de $p$ éléments de $E$. Lien avec un chemin réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions dans un arbre binaire. Formule $\displaystyle\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$. Démonstration combinatoire des formules usuelles sur les coefficients binomiaux, dont la formule de Pascal. Démonstration par récurrence de la formule du binôme de Newton.
4) Applications aux tirages (poly distribué en cours PDF)

vendredi 20 octobre 2017 : (8h-11h)

EXERCICES :
feuille de TD 6 (exercice supplémentaire)
feuille de TD 7 (exercices 1,12)
feuille de TD 8 (exercices 1,2,5)

samedi 21 octobre 2017 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLÉ

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures conditionnelles (1)

mardi 10 octobre 2017 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 11,3,4)

mercredi 11 octobre 2017 : (10h-12h)

CORRECTION : Eléments de correction du DM 3

COURS : Chapitre 7 - Ensembles et applications
I Ensembles

1) Ensembles et éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension.
2) Parties d'un ensemble
Inclusion, double inclusion, transitivité. Ensemble vide. Ensemble des parties d'un ensemble.
3) Opérations sur les parties
Complémentaire, intersection, union, différence. Diagrammes de Venn.

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercice 1)

jeudi 12 octobre 2017 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 10 et 11)

vendredi 13 octobre 2017 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 6 (fin de l'exercice 4)

COURS : Chapitre 7 (suite)
I Ensembles

3) Opérations sur les parties
Cas des ensembles définis par compréhension. Propriétés de l'intersection, l'union et du complémentaire (commutativité, distributivité, lois de Morgan, etc.). Parties disjointes.
4) Produit cartésien
Couples, $n$-upluet. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles.
5) Familles d'éléments
Famille d'éléments d'un ensemble indexée par un ensemble. Union et intersection d'une famille de parties d'un ensemble. Distributivité et lois de Morgan. Partition d'un ensemble.
II Applications

1) Notion d'application
Applications, images, antécédents, ensembles de départ et d'arrivée. Différence avec la notion de fonction. Egalité d'applications. Graphe d'une application, ensemble image. Application identité, application constante. Premiers exemples.
2) Composition d'applications
Applications composées. Associativité.
III Applications injectives, surjectives, bijectives

1) Applications injectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition d'injections.
2) Applications surjectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples.

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP2 : Premiers programmes en Scilab (2)

mardi 3 octobre 2017 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
I Bornes supérieures et inférieures sur $\mathbb{R}$
2) Bornes supérieures, inférieures
Caractérisation.
3) Le théorème de la borne supérieure
4) Application à la répartition des entiers dans $\mathbb{R}$
Propriété d'Archimède. Existence de la partie entière d'un réel.
II Suites convergentes

1)Définitions
Trois définitions équivalentes (dont la définition quantifiée). Unicité de la limite d'une suite convergente. Premières propositions immédiates.
2)Exemples fondamentaux
Convergence des suites constantes et stationnaires. Convergence vers $0$ des suites $(n^{-\alpha})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\alpha>0$, $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]-1,1\mathclose[$ et $(\exp(-an^{\gamma}))_{n\in \mathbb{N}}$ pour $a>0$ et $\gamma>0$.
3) Limites et relation d'ordre
Une suite réelle convergente est bornée. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre.

mercredi 4 octobre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
II Suites convergentes

3) Limites et relation d'ordre
Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre (suite et fin).
4) Opération algébriques sur les suites convergentes
Opérations algébriques usuelles ainsi que l'élévation à la puissance $\alpha\in \mathbb{R}$.
5) Théorèmes d'encadrement
Théorème et conséquence. Application à la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.
5) Suites extraites
Définition. Cas particulier des suites $(u_{2n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n\in \mathbb{N}}$.
III Suites tendant vers $\pm \infty$

1) Définitions
Définition. Droite numérique achevée $\overline{\mathbb{R}}$. Unicité de la limite dans $\overline{\mathbb{R}}$.
2) Exemples fondamentaux
Convergence vers $+\infty$ des suites $(n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}}$ pour $\alpha>0$, $((\ln(n))^{\beta})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\beta>0$, $(n!)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]1,+\infty\mathclose[$. Démonstration laissée en exercice pour demain.
3) Opérations algébriques sur les suites admettant une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$

jeudi 5 octobre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
III Suites tendant vers $\pm \infty$

2) Exemples fondamentaux
Démonstration du théorème énoncé hier.
3) Opérations algébriques sur les suites admettant une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$
Quelques exemples de formes indéterminées.
4) Croissances comparées
5) Limites infinies et relation d'ordre

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 8,10,12) et de TD 6 (exercices 1,2)

vendredi 6 octobre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
IV Limites de suites monotones

1) Théorème de la limite monotone
2) Suites adjacentes
V Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$
Cas où $f$ est croissante ou décroissante. Exemples d'illustration.

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP2 : Premiers programmes en Scilab (1)

mardi 26 septembre 2017 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
IV Équations polynômiales complexes
3) Racines $n$-ièmes d'un complexe (suite et fin)
Exemples de racines $n$-ièmes de l'unité pour $n=3$ et $n=4$. Racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 10,13,15)

ELECTION DES DELEGUES

mercredi 27 septembre 2017 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercice 15)

COURS : Chapitre 5 - Généralités sur les suites de nombres réels (poly à trous distribué en cours PDF)
I Notion de suite de nombres réels
1) Définitions
Notion de suite de nombres réels. Suites définies explicitement, par récurrence ou implicitement. Propriété vraie à partir d'un certain rang.
2) Opérations sur les suites
3) Propriétés générales
Monotonie. Suites majorées, minorées, bornées.
II Exemples de suites réelles
1) Suites arithmétiques
2) Suites géométriques
3) Suites arithmético-géométriques
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

jeudi 28 septembre 2017 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLÉ

vendredi 29 septembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 5 (suite et fin)
II Exemples de suites réelles
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercices 1,3,5,6)

COURS : Chapitre 6 - Convergence de suites réelles
I Bornes supérieures et inférieures sur $\mathbb{R}$
1) Majorant, minorant, maximum, minimum
Définitions et exemples. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum. Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de $\mathbb{Z}$ admet un maximum (resp. un minimum).
2) Bornes supérieures, inférieures
Définitions et premier exemple.

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab (2)

mardi 19 septembre 2017 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 11,12,13)

mercredi 20 septembre 2017 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 5,11)

COURS : Chapitre 4 - Nombres complexes et trigonométrie
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
1) L'ensemble des nombres complexes
Définition de $\mathbb{C}$. Vocabulaire. Addition et multiplication sur les complexes.
2) Calculs algébriques
Rappel du binôme de Newton et de la factorisation de $z^n-(z')^n$. Sommes géométriques.
3) Conjugué d'un nombre complexe
Définition et propriétés.
4) Module d'un nombre complexe
Définition et propriétés. Inégalité triangulaire.

jeudi 21 septembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
5) Interprétation géométrique des nombres complexes
II Trigonométrie
1) Cercle trigonométrique, cosinus, sinus
2) Formulaire de trigonométrie
3) Tangente
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1) Argument d’un nombre complexe non nul
Définition. Forme trigonométrique d'un complexe non nul
2) Notation exponentielle
Définition et propriétés de l'exponentielle d'un imaginaire pur. Forme exponentielle d'un complexe non nul.
3) Applications à la trigonométrie
Formules de Moivre et d’Euler. Applications au développement de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ et à la linéarisation de $\cos^p(\theta)$, $\sin^q(\theta)$ et $\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)$.
IV Équations polynômiales complexes
1) Racines carrées dans $\mathbb{C}$
Méthode pour déterminer une racine carrée d'un nombre complexe dans $\mathbb{C}$.
2) Équations du second degré à coefficients complexes

INTERRO (formules de trigonométrie)

vendredi 15 septembre 2017 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 1,5,11,12)

COURS : Chapitre 4 (suite)
IV Équations polynômiales complexes
2) Équations du second degré à coefficients complexes
3) Racines $n$-ièmes d'un complexe
Racines de l'unité (conformément au programme d'ECS, les résultats concernant les racines $n$-ièmes de l'unité ne sont pas exigibles des étudiants mais elles pourront être étudiées comme exemples d'utilisation de la notation exponentielle).

TP d'informatique (mardi et vendredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab

mardi 12 septembre 2017 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres
4) Sommes et produits téléscopiques
Produit téléscopique.
5) Sommes usuelles
Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques, factorisation de $x^n-y^n$ (preuves par récurrence).
III Factorielles et coefficients binomiaux

1) Factorielle d'un entier

INTERRO (chapitre 1 et partie I du chapitre 2)

mercredi 13 septembre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
III Factorielles et coefficients binomiaux
2) Coefficients binomiaux
Définition, propriétés. Formule de Pascal.
3) Formule du binôme de Newton

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 10,11,12)

jeudi 14 septembre 2017 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 17,18,19,21,23)

COURS : Chapitre 2 (suite)
IV Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Notion de somme double
Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
2) Le cas d'un domaine rectangulaire
3) Le cas d'un domaine triangulaire

vendredi 15 septembre 2017 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercice 25)

COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle
I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
1) Introduction
Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative.
2) Opérations sur les fonctions
3) Fonction bijective et réciproque
Définition, caractérisations.
4) Propriétés globales
Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)

1) Limites
Notion de limite. Opérations algébriques sur les limites (cf. formulaire PDF). Limites de fonctions composées. Asymptotes (verticales, horizontales, obliques).

samedi 16 septembre 2017 : (8h-12h) Ce cours remplace le cours du jeudi 28 septembre (DS de Maths)

COURS : Chapitre 3 (suite)
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
2) Continuité
Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire (forme faible du théorème de la bijection). Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.
3) Dérivabilité
Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables (cf. formulaire PDF). Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones.
4) Tableau de variations
III Fonctions usuelles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Fonctions puissances d'un nombre entier
2) Fonction racine $n$-ième
3) Les fonctions polynômiales et rationnelles
4) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
5) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
6) Puissances à exposant réel
Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel. Exponentielle de base $a$.
7) Autres fonctions usuelles (valeur absolue, partie entière)
IV Plan d'étude d'une fonction

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 2,3,11 partiellement)

lundi 4 septembre 2017 : (8h30-10h)

Accueil.

mardi 5 septembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements
I Éléments de logique

1) Proposition
Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
2) Propositions équivalentes
Table de vérité, exemples.
3) Négation d'une proposition
Table de vérité, exemples. Négation d'une négation.
4) Conjonction et disjonction de propositions
Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
5) Implication
Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
II Ensembles, éléments et quantificateurs

1) Notion d'ensemble et d'éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
2) Quantificateurs
Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.
III Raisonnements usuels.

1) Le raisonnement direct
Principe et exemple.
2) Le raisonnement par contraposition
Principe et exemple.
3) Le raisonnement par l'absurde
Principe et exemple.
4) Le raisonnement par disjonction des cas.
Principe et exemple.

mercredi 6 septembre 2017 : (14h-17h) Il s'agit d'un cours supplémentaire.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 1,2,3,4,5,6,8,9)

jeudi 7 septembre 2017 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 1 (suite)
III Raisonnements usuels
5) Le raisonnement par équivalences multiples
6) Le raisonnement par analyse/synthèse
Principe et exemple.
7) Le raisonnement par récurrence
Principe de récurrence, rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 7,10,11,12)

COURS : Chapitre 2 : Ensembles de nombres, calculs algébriques et inégalités
I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Existence admise des ensembles de nombres
2) Opérations dans $\mathbb{R}$
Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particulier de $\mathbb{Q}$. Congruences sur $\mathbb{R}$. Puissances entières. Identités remarquables.
3) Opérations dans $\mathbb{C}$
Extension de l'addition et la multiplication des réels aux complexes (on reverra tout cela en détail au chapitre 4).
4) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire. Partie entière d'un réel.

vendredi 8 septembre 2017 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
I Les ensembles de nombres
5) Racines d'un réel positif
Définition, unicité, propriétés. Existence admise.
6) Forme canonique d'un trinôme du second degré
Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$ dans le cas réel et le cas complexe. Signe dans le cas réel.
II Sommes et produits de nombres
1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
2) Propriétés de la somme et du produit
Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
3) Changement d'indice
4) Sommes et produits télescopiques
Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.