Mathématiques ECS1B

lundi 3 septembre 2018 : (8h30-10h)

ACCUEIL.

lundi 3 septembre 2018 : (13h30-15h30)

COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements
I Éléments de logique

1) Proposition
Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
2) Propositions équivalentes
Table de vérité, exemples.
3) Négation d'une proposition
Table de vérité, exemples. Négation d'une négation.
4) Conjonction et disjonction de propositions
Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
5) Implication
Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
II Ensembles, éléments et quantificateurs

1) Notion d'ensemble et d'éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
2) Quantificateurs
Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.

mardi 4 septembre 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 2,3,4,6,7,9)

COURS : Chapitre 1 (suite)
III Raisonnements usuels

1) Le raisonnement direct
Principe et exemple.
2) Le raisonnement par contraposition
Principe et exemple.
3) Le raisonnement par l'absurde
Principe et exemple.
4) Le raisonnement par disjonction des cas.
Principe et exemple.
5) Le raisonnement par équivalences multiples
6) Le raisonnement par analyse/synthèse
Principe et exemple
7) Le raisonnement par récurrence

mercredi 5 septembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 1 (suite et fin)
III Raisonnements usuels

7) Le raisonnement par récurrence
Rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 1,11,14)

jeudi 6 septembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 2 : Ensembles de nombres, calculs algébriques et inégalités
I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Existence admise des ensembles de nombres
2) Opérations dans $\mathbb{R}$
Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particulier de $\mathbb{Q}$. Congruences sur $\mathbb{R}$. Puissances entières. Identités remarquables.
3) Opérations dans $\mathbb{C}$
Extension de l'addition et la multiplication des réels aux complexes (on reverra tout cela en détail au chapitre 4).
4) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire. Partie entière d'un réel.
5) Racines d'un réel positif
Définition, unicité, propriétés. Existence admise.
6) Forme canonique d'un trinôme du second degré
Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$ dans le cas réel et le cas complexe. Signe dans le cas réel.

vendredi 7 septembre 2018 : (13h-15h cours supplémentaire)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 1,6,8,10)

samedi 8 septembre 2018 : (8h-12h cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres
1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
2) Propriétés de la somme et du produit
Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
3) Sommes usuelles
Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques.
4) Changement d'indice
5) Sommes et produits télescopiques
Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.
III Factorielles et coefficients binomiaux
1) Factorielle d'un entier
2) Coefficients binomiaux
Définition, propriétés. Formule de Pascal.
3) Formule du binôme de Newton

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 11,12,18)

lundi 10 septembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 16,17,18,19,23,27)

mardi 11 septembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
IV Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Notion de somme double
Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
2) Le cas d'un domaine rectangulaire
3) Le cas d'un domaine triangulaire

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 21,24,27)

mercredi 12 septembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle (poly à trous distribué en cours PDF)
I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
1) Introduction
Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative.
2) Opérations sur les fonctions
3) Fonction bijective et réciproque
Définition, caractérisations.
4) Propriétés globales
Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.

INTERROGATION ECRITE

jeudi 13 septembre 2018 : (9h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 31,32)

COURS : Chapitre 3 (suite)
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
2) Continuité
Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires. Forme faible du théorème de la bijection. Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.
3) Dérivabilité
Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones.
4) Tableau de variations
IV Plan d'étude d'une fonction
IV Fonctions usuelles
1) Fonctions puissances d'un nombre entier
2) Les fonctions affines, polynômiales et rationnelles
3) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
4) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
6) Autres fonctions usuelles (valeur absolue, partie entière)

lundi 17 septembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30)

COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
III Fonctions usuelles
5) Puissances à exposant réel
Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel. Exponentielle de base $a$.

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,3,5,9,13,15)

mardi 18 septembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 4 - Nombres complexes et trigonométrie
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
1) L'ensemble des nombres complexes
Définition de $\mathbb{C}$. Vocabulaire. Addition et multiplication sur les complexes. Rappel du binôme de Newton et des sommes géométriques.
3) Conjugué d'un nombre complexe
Définition et propriétés.
4) Module d'un nombre complexe
Définition et propriétés. Inégalité triangulaire.
5) Interprétation géométrique des nombres complexes
II Trigonométrie
1) Cercle trigonométrique, cosinus, sinus
2) Formulaire de trigonométrie

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 13,14,15,18)

mercredi 19 septembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
II Trigonométrie
3) Tangente
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1) Argument d’un nombre complexe non nul
Définition. Forme trigonométrique d'un complexe non nul
2) Notation exponentielle
Définition et propriétés de l'exponentielle d'un imaginaire pur. Forme exponentielle d'un complexe non nul.
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
3) Applications à la trigonométrie
Formules de Moivre et d’Euler.

INTERRO (formules de trigonométrie)

jeudi 20 septembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
3) Applications à la trigonométrie
Applications à la technique de l'Arc-moitié et aux calculs de sommes de sinus et cosinus. Applications au développement de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ et à la linéarisation de $\cos^p(\theta)$, $\sin^q(\theta)$ et $\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)$.
IV Équations polynômiales complexes
1) Racines carrées dans $\mathbb{C}$
Méthode pour déterminer une racine carrée d'un nombre complexe dans $\mathbb{C}$.
2) Équations du second degré à coefficients complexes

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercice 1)

samedi 22 septembre 2018 : (8h-12h cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 4 (suite et fin)
IV Équations polynômiales complexes
2) Équations du second degré à coefficients complexes
3) Racines $n$-ièmes d'un complexe
Racines de l'unité (conformément au programme d'ECS, les résultats concernant les racines $n$-ièmes de l'unité ne sont pas exigibles des étudiants mais elles pourront être étudiées comme exemples d'utilisation de la notation exponentielle).

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercice 3,5,6,9,13)

COURS : Chapitre 5 - Généralités sur les suites de nombres réels (poly à trous distribué en cours PDF)
I Notion de suite de nombres réels
1) Définitions
Notion de suite de nombres réels. Suites définies explicitement, par récurrence ou implicitement. Propriété vraie à partir d'un certain rang.
2) Opérations sur les suites
3) Propriétés générales
Monotonie. Suites majorées, minorées, bornées.
II Exemples de suites réelles
1) Suites arithmétiques
2) Suites géométriques
3) Suites arithmético-géométriques
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP1 : Découverte de Scilab (1/2)

lundi 24 septembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 16,17,18,19)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 3)

mardi 25 septembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 5 (suite et fin)
II Exemples de suites réelles
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 5)

COURS : Chapitre 6 - Convergence de suites réelles
I Bornes supérieures et inférieures sur $\mathbb{R}$
1) Majorant, minorant, maximum, minimum
2) Bornes supérieures, inférieures
3) Théorèmes d'existence
Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum. Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de $\mathbb{Z}$ admet un maximum (resp. un minimum). Théorème de la borne supérieure. Existence de la partie entière d'un réel.
II Suites convergentes

1)Définitions
Trois définitions équivalentes (dont la définition quantifiée). Premières propositions immédiates.

ELECTION DES DELEGUES

mercredi 26 septembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
II Suites convergentes

1)Définitions
Unicité de la limite d'une suite convergente. Premières propositions immédiates. Suites des termes de rangs pairs/impairs.
2)Exemples fondamentaux
Convergence des suites constantes et stationnaires. Convergence vers $0$ des suites $(1/n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\alpha>0$, $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]-1,1\mathclose[$.
3) Limites et relation d'ordre
Une suite réelle convergente est bornée. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre (suite et fin).
4) Opération algébriques sur les suites convergentes
Opérations algébriques usuelles ainsi que l'élévation à la puissance $\alpha\in \mathbb{R}$.
5) Limites et composition par une fonction continue
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)
5) Théorèmes d'encadrement
Théorème et conséquence. Application à la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.

jeudi 27 septembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
III Suites tendant vers $\pm \infty$

1) Définitions
Définition. Droite numérique achevée $\overline{\mathbb{R}}$. Unicité de la limite dans $\overline{\mathbb{R}}$.
2) Exemples fondamentaux
Convergence vers $+\infty$ des suites $(n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}}$ pour $\alpha>0$, $((\ln(n))^{\beta})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\beta>0$, $(n!)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]1,+\infty\mathclose[$.
3) Limites infinies et relation d'ordre
4) Opérations algébriques sur les suites admettant une limite finie ou infinie
Quelques exemples de formes indéterminées.
6) Limites et compositon par des fonctions
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)
IV Limites de suites monotones

1) Théorème de la limite monotone

samedi 29 septembre 2018 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLÉ

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP1 : Découverte de Scilab (2/2)

lundi 1er octobre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 1,4,7,11)

mardi 2 octobre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 6 (suite et fin)
IV Limites de suites monotones

1) Théorème de la limite monotone
2) Suites adjacentes
V Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$

1) Introduction
Points fixes. Si $f$ est continue et si la suite converge, alors la limite est un point fixe de $f$. Méthode générale.
2) Exemple dans le cas où $f$ est croissante
3) Exemple dans le cas où $f$ est décroissante

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 8,13)

mercredi 3 octobre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 7 - Ensembles et applications (poly à trous distribué en cours PDF)
I Ensembles

1) Ensembles et éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension.
2) Parties d'un ensemble
Inclusion, double inclusion, transitivité. Ensemble vide. Ensemble des parties d'un ensemble.
3) Opérations sur les parties
Complémentaire, intersection, union, différence. Diagrammes de Venn. Cas des ensembles définis par compréhension. Propriétés de l'intersection, l'union et du complémentaire (commutativité, distributivité, lois de Morgan, etc.). Parties disjointes.

CORRECTION : Eléments de correction du DS 1

jeudi 4 octobre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 7 (suite)
I Ensembles

4) Produit cartésien
Couples, $n$-upluet. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles.
5) Familles d'éléments
Famille d'éléments d'un ensemble indexée par un ensemble. Union et intersection d'une famille de parties d'un ensemble. Distributivité et lois de Morgan. Partition d'un ensemble.
II Applications

1) Notion d'application
Applications, images, antécédents, ensembles de départ et d'arrivée. Différence avec la notion de fonction. Egalité d'applications. Graphe d'une application, ensemble image. Application identité, application constante. Premiers exemples.
2) Composition d'applications
Applications composées. Associativité.

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercice 4)

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP2 : Premiers programmes en Scilab (1/2)

lundi 8 octobre 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 7 (suite et fin)
III Applications injectives, surjectives, bijectives

1) Applications injectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition d'injections.
2) Applications surjectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition de surjections.
3) Applications bijectives
Définition. Exemples. Composition de bijections. Ensembles en bijection. Application réciproque. Caractérisation de la bijection. Réciproque de la composée de bijections.

lundi 8 octobre 2018 : (13h30-15h30)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 3,9,15)

mardi 9 octobre 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 3,4,9,10)

COURS : Chapitre 8 - Élements de combinatoire
I Cardinal d’un ensemble fini

Définition intuitive. Définition avec la bijection. Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal. Le cardinal d'une partie d'un ensemble $E$ est inférieur au cardinal de $E$. Cas d'égalité.
II Dénombrement

1) Cardinal de l'union d'ensembles finis
Cardinal de l'union disjointe d'une famille finie de parties. Lemme des bergers.

mercredi 10 octobre 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 8,12)

COURS : Chapitre 8 (suite)
II Dénombrement

1) Cardinal de l'union d'ensembles finis
Cardinal du complémentaire. Formule de Poincaré pour deux ensembles finis.
2) Cardinal d'un produit cartésien.
3) Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini
III Listes, permutations, combinaisons

1) Listes
Lien avec les applications d'un ensemble de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments. Cardinal : $n^p$.

jeudi 11 octobre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 8 (suite)
III Listes, permutations, combinaisons

2) Listes d'éléments disjoints
Lien avec les injections d'un ensemble de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments. Cardinal : $n!/(n-p)!$.
3) Permutations
Une permutation est d'un ensemble fini $E$ est une bijections de $E$ sur lui même. Lien avec les $n$-listes d'éléments disjoints de $E$. Cardinal : $n!$.
4) Combinaisons
On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie de $E$ de cardinal $p$. Lien avec les $p$ listes d'éléments distincts non-ordonnées éléments de $E$.. Lien avec le choix de $p$ éléments de $E$. Lien avec un chemin réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions dans un arbre binaire. Cardinal : $\displaystyle\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
5) Propriétés des coefficients binomiaux
Démonstration combinatoire des formules usuelles sur les coefficients binomiaux, dont la formule de Pascal.

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP2 : Premiers programmes en Scilab (2/2)

lundi 15 octobre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 7,10)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 1,2,5)

mardi 16 octobre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 8 (suite et fin)
III Listes, permutations, combinaisons

5) Propriétés des coefficients binomiaux
Démonstration par récurrence de la formule du binôme de Newton. Preuve combinatoire de $\smash{\displaystyle 2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}}$.
6) Applications aux tirages (poly distribué en cours PDF)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 7,14)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 3,5)

COURS : Chapitre 9 - Probabilités sur un univers fini (poly à trous distribué en cours PDF)
I Espaces probabilisés finis

1) Introduction
Notion d'expérience aléatoire. Premiers Exemples.
2) Espaces probabilisables finis
Espaces probabilisables finis. Univers. Evénements. Evénements élémentaires, certain, impossible. Evénéments incompatibles.
3) Opérations sur les événements
Evénement contraire. Réunion, intersection, complémentaire, inclusion d'événements. Evénements incompatibles.

mercredi 17 octobre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 9 (suite)
I Espaces probabilisés finis

3) Opérations sur les événements
Rappels sur les opérations sur les ensembles. Système complet d'événements.
4) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Probabilité. Premières propriétés. Additivité finie. Probabilité de l'union de deux ou trois événements. Probabilités et systèmes complet d'événements. Equiprobabilité.

jeudi 18 octobre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 9 (suite)
I Espaces probabilisés finis

4) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Equiprobabilité : modélisation et exemple.

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 3,4)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 4,6,7)

samedi 20 octobre 2018 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLÉ

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP3 : Structures conditionnelles (1/2)

lundi 5 novembre 2018 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 9 (suite) (poly à trous distribué en cours PDF)
II Probabilité conditionnelle

1) Définition et propriétés
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nul est une probabilité.
2) Formule des probabilités composées
3) Formule des probabilités totales
4) Formule de Bayes

III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Définition. Exemples et contre-exemples. Lien avec les probabilités conditionnelles.
2) Famille d’événements indépendants
Indépendance deux à deux. Indépendance mutuelle. Théorème des coalitions.
3) Schéma de Bernoulli, schéma binomial

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 2

lundi 5 novembre 2018 : (13h30-15h30)

COURS : Chapitre 9 (suite)
III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Exemples et contre-exemples
2) Famille d’événements indépendants
Indépendance deux à deux. Indépendance mutuelle. Théorème des coalitions.
3) Schéma de Bernoulli, schéma binomial

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercice 8)

mardi 6 novembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 9 (suite et fin)
III Indépendance

3) Schéma de Bernoulli, schéma binomial

INTERRO

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 5,8,10,11,12,19)

mercredi 7 novembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 10 - Variables aléatoires finies (poly à trous distribué en cours PDF)
I Variable aléatoire réelle finie

1) Définitions et exemples
Notation $[X=x]$, $[x\leq x]$, etc. Système complet associé à une variable aléatoire réelle finie.
2) Loi d'une variable aléatoire
Différentes façons de représenter une loi. Egalité en loi (notation $X\overset{\mathscr{L}}{=}Y$). Existence de variable aléatoire réelle finie de loi donnée (notation $X\hookrightarrow \mathscr{L}$).
3) Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle finie.
Formule générale. Calcul de certaines probabilités à partir de la fonction de répartition. La fonction de répartition caractérise la loi.

jeudi 8 novembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 10 (suite)
I Variable aléatoire réelle finie

4) Transfert de variables aléatoires
Etude de transferts de variables aléatoires dans des cas particuliers.
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

1)Espérance
Définition et exemple. Propriété de positivité, linéarité, additivité.
2) Formule de transfert
3) Variation et écart-type
Formule de Koenig-Huygens. Propriétés générales de la variance.

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP3 : Structures conditionnelles (2/2)

TP4 : Boucle For (1/3)

lundi 12 novembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 17,18)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 1,11,12)

mardi 13 novembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 10 (suite et fin)
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

3) Variation et écart-type
Notion de variable aléatoire centrée réduite.
III Lois finies usuelles (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Loi certaine
2) Loi uniforme
3) Loi de Bernoulli
4) Loi binomiale

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 9,16)

mercredi 14 novembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 11 - Étude locale de fonctions : limites et continuité en un point (poly à trous distribué en cours PDF)
I Limite et continuité en un point

1) Notion de voisinage
2) Limite finie en un point
Limite d'une fonction $f$ définie en un point $x_0$ de $I$ ou une éventuelle extrémité finie de $I$. Extension de la définition au cas où $f$ n'est pas définie en $x_0$.
3) Premières propriétés
4) Continuité en un point
Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0\in I$, alors $\ell=f(x_0)$. On dit alors que $f$ est continue en $x_0$. Prolongement par continuité.
5) Limite et continuité à gauche et à droite
Liens entre limite finies et limites à gauche et à droite en $x_0$ (cas où $f$ est définie ou non). >Liens entre continuité et continuité à gauche et à droite en $x_0$.
6) Limite infinie en un point de $\mathbb{R}$
Limite infinie, limite infinie à gauche, à doite.
7) Limites en $\pm\infty$



jeudi 15 novembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 11 (suite)
II Résultats généraux sur les limites

1) Théorèmes de composition des limites
Image d’une suite convergente par une fonction admettant une limite en $x_0$. Limite et continuité d’une fonction composée
2) Limites et relations d'ordre
3) Opérations algébriques sur les limites
III Le théorème de la limite monotone pour les fonctions
IV Asymptotes et branches paraboliques

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP4 : Boucle For (2/3)

lundi 19 novembre 2018 : (10h-12h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 3,5,13,14)

mardi 20 novembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 11 (suite et fin)
V Continuité en un point et limites de fonctions usuelles

EXERCICES : feuille de TD 10 (exercices 15,17)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercice 1)

mercredi 21 novembre 2018 : (10h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 1,2,6,10)

jeudi 22 novembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 12 - Étude globale de fonctions : continuité sur un intervalle
I Fonctions réelles continues sur un intervalle

1) Définition et exemples
Notation $C^0(I,\mathbb{R})$. Continuité des fonctions usuelles.
2) Opérations sur les fonctions continues
Opérations algébriques. Composée de fonctions continues.
3) Restriction de fonctions continues

EXERCICES : feuille de TD 11 (exercices 5,6,7,12)

samedi 24 novembre 2018 : (8h-12h séance exceptionnelle)

COURS : Chapitre 12 (suite)
I Fonctions réelles continues sur un intervalle

4) Fonctions continues par morceaux
II Le théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Formulation équivalentes. Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas garde un signe constant.
III Le théorème des bornes atteintes

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (preuve reportée mardi prochain). Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.
IV Le théorème de la bijection

1) Enoncé du théorème de la bijection
2) Qu'est-ce que $f(I)$?
Forme de $f(I)$ lorsque $f$ est monotone sur l'intervalle $I$.
3) La fonction Arctangente

INTERROGATION ECRITE

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP4 : Boucle For (3/3)

lundi 26 novembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 1,2,4,5,10,12)

mardi 27 novembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 12 (suite et fin)

Démonstration du théorème des bornes atteintes.

EXERCICES : feuille de TD 12 (exercices 7,9,13,16,20)

mercredi 28 novembre 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 13 - Dérivation d’une fonction réelle à valeurs réelles (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivabilité en un point

1) Fonction dérivable en un point
Taux d'accroissement. Dérivée. Tangente à la courbe. Equation d'une droite du plan passant par deux points (rappel). Tangente verticale. Exemples des fonctions affines, carrée et racine carrée. La dérivabilité implique la continuité.
2) Dérivée à droite et à gauche
Notion de demi-tangente. Lien entre dérivabilité et dérivabilité à gauche et à droite.
3) Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Opérations algébriques. Dérivée d'une puissance entière de fonction. Dérivée d'une composée. Dérivée d'une réciproque. Lien entre les tangentes d'une bijection et celles de sa réciproque.
II Fonctions dérivées
1) Définitions
Fonction dérivable et fonction dérivée. Notation $D^1(I,\mathbb{R})$. Fonction de classe $C^1$. Notation $C^1(I,\mathbb{R})$.
2) Opérations sur les fonctions dérivables sur $I$
3) Dérivées usuelles
Fonctions puissances d'un nombre entier. Fonction $\mathrm{Arctan}$.

jeudi 29 novembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 13 (suite)
II Fonctions dérivées
3) Dérivées usuelles
Fonctions exponetielle, logarithme et puissances généralisées. Fonctions trigonométriques ($\cos$, $\sin$, $\tan$).
III Théorème de Rolle et accroissements finis

1) Extremum local et dérivée
2) Théorème de Rolle
3) Le théorème des accroissements finis
4) L’inégalité des accroissements finis
5) Prolongement d’une dérivée.

samedi 1er décembre 2018 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP5 : Boucle While (1/2)

lundi 3 décembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30)

COURS : Chapitre 13 (suite et fin)
III Théorème de Rolle et accroissements finis

5) Prolongement d’une dérivée
6) Applications à l’étude des suites récurrentes
IV Variations des fonctions dérivables

1) Le cas des fonctions monotones
2) Le cas des fonctions strictement monotones
3) Application : démonstration des croissances comparées.

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,4,10,12)

mardi 4 décembre 2018 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,3,5,8,13,15)

COURS : Chapitre 14 - Intégration d’une fonction sur un segment
I Primitive d’une fonction continue

1) Notion de primitive
Unicité à une constante près. Unicité de la primitive s'annulant en un certain point.
2) Théorème fondamental
Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive (admis).
3) Primitives usuelles (formulaire PDF)
II Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1) Définition
Définition en tant que différence des primitives de la fonction en chaque borne.

mercredi 5 décembre 2017 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 14 - Intégration d’une fonction sur un segment
II Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1) Définition
Lien entre intégrale et primitive qui s'annule en un point.
2) Propriétés des intégrales
Relation de Chasles. Linéarité. Propriété de positivité (et cas d'une intégrale nulle). Propriété de croissance. Inégalité de la moyenne. Inégalité triangulaire.
3) Extension au cas des fonctions continues par morceaux (poly distribué en cours PDF)
4) Fonctions définies par une intégrale

jeudi 6 décembre 2018 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 14 - Intégration d’une fonction sur un segment
II Intégrale d’une fonction continue sur un segment

4) Fonctions définies par une intégrale
Exemple.
III Calcul d’intégrales

1) Intégration par parties
Théorème et trois exemples.

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 1,18)

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP5 : Boucle While (2/2)

TP6 : Fonctions en Scilab (1/3)

lundi 10 décembre 2018 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 13 (exercices 17)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 1,2,3,5,12)

mardi 11 décembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 14 (suite)
III Calcul d’intégrales

2) Changement de variables
Formule de changement de variables. Exemples. Intégrales et parité.
IV Sommes de Riemann à pas constant

1) Définitions
Somme de Riemann à gauche, à droite, au milieu.
2) Convergence des sommes de Riemann à pas constant
Preuve dans le cas $C^1$. Vitesse de convergence dans le cas $C^1$. Exemples.
3) Interprétation géométrique en terme d’aire : méthodes des rectangles et des trapèzes (poly distribué en cours PDF)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 5,6,22)

La séance du mercredi 12 décembre 2018 est reportée au mercredi 19 décembre 2018 de 8h à 10h.

jeudi 13 décembre 2018 : (9h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 4,7,8,10,13,14,25)

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TP d'informatique pour le groupe B (jeudi de 11h à 12h)

TP6 : Fonctions en Scilab (2/2)

lundi 17 décembre 2018 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 8,9,25,26)

lundi 17 décembre 2018 : (13h30-15h30)

COURS : Chapitre 15 - Polynômes réels ou complexes
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

1) Ensemble $\mathbb{K}[X]$
Définition (les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ sont vus comme des applications polynômiales de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$). Monôme. $\mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$. Les coefficients d'un polynômes de $\mathbb{K}$ sont uniquement déterminés. Degré d'un polynôme. Ensembles $\mathbb{K}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$.
2) Opérations algébriques sur les polynômes (poly à trous distribué en cours PDF)
Somme, multiplication par un scalaire, produit, composition de polynômes. Formules sur le degré. Intégrité. Polynômes inversibles.
3) Dérivée d'un polynôme

mardi 18 décembre 2018 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 15 (suite)
II Division euclidienne de polynômes

1) Le théorème de la division euclidienne
Méthode Algorithmique. Exemple de la division euclidienne de $X^{2018}+1$ par $X^2+1$. Reste d'un un polynôme par un polynôme de degré 1.
2) Divisibilité dans $\mathbb{K}[X]$
Diviseur et multiple. Propriétés générales. Polynômes irréductibles dans $\mathbb{K}[X]$.
III Racines d'un polynôme

1) Définition et caractérisation
Définition. Lien avec la divisibilité. Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ admettant au moins $n+1$ racines distinctes est le polynôme nul. Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ admettant une infinité de racines est le polynôme nul. Caractérisation de l'égalité de deux polynômes en terme de racines. Exemple des polynômes de Tchebytchev. Factorisation d'un polynôme de degré $n$ admettant exactement $n$ racines disctinctes. Notion de polynôme scindé.
2) Ordre de multiplicité d'une racine
Définition et exemples.

mercredi 19 décembre 2018 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 15 (suite et fin)
III Racines d'un polynôme

2) Ordre de multiplicité d'une racine
Caractérisation. Cas d'une racine simple ou multiple.
3) Le théorème de D'Alembert-Gauss
Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ : tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{C}$ est scindé.
4) Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$
Racines complexes d'un polynôme à coefficent réel. Son conjuguée est encore une racine de même multiplicité. Tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré impair admet une racine réelle. Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{R}$ s'écrit comme produit de polynômes de degré 1 et de degré 2 de discriminants strictement négatifs. Méthodes de factorication.

EXERCICES : feuille de TD 14 (exercices 23,27)

jeudi 20 décembre 2018 : (9h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 1,4,5,8,9,17)

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TP d'informatique pour le groupe A (mercredi de 12h30 à 13h30)

TP6 : Fonctions en Scilab (2/2)

CONCOURS BLANC

samedi 12 janvier 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 2,6,8,15,18,25)

COURS : Chapitre 16 : Systèmes linéaires (poly distribué en cours PDF)
Intégralité du cours et exemples supplémentaires illustrant la méthode du pivot de Gaus.

lundi 14 janvier 2019 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 10,19,21,25,26,27)

mardi 15 janvier 2019 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 15 (exercices 12,24,28)

COURS : Chapitre 17 - Matrices (poly distribué en cours PDF)
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Ensemble de matrices

Matrice à $n$ lignes de $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. Ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Matrices lignes, colonnes. Matrice nulle. Matrices élémentaires.
II Opérations sur les matrices

1) Opérations algébriques dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$
Somme de matrices, multiplication par un scalaire. Premières propriétés.
2) Produit matriciel
Définition. Méthode pratique de calcul. Associativité. Distributivité par rapport au produit. $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ n'est pas intègre. Produit d'une matrice par une vecteur colonne. Lien entre matrices et systèmes linéaires.
3) Transposée d'une matrice

mercredi 16 janvier 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 17 (suite)
III Matrices carrées

1) Définitions et exemples
Ensemble $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Matrice nulle. Matrice identité. Le produit n'est pas commutatif. Matrices qui commutent. Matrices diagonales, triangulaires supérieures et inférieures, symétriques, anti-symétriques.
2) Puissances de matrices carrées
Propriétés des puissances de matrices. Formule du binôme de Newton pour deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ qui commutent. Exemples d'application.
3) Polynômes de matrices carrées
Définition et exemples. Notion de polynôme annulateur. Application au calcul des puissances successives d'une matrice carrée.

ELEMENTS DE CORRECTION DU CONCOURS BLANC

jeudi 17 janvier 2019 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 17 (suite)
IV Matrices inversibles

1) Définitions et premières propriétés
2) Critères d'inversibilité (qui seront démontrés dans le chapitre 30 ou 31)
Une matrice inversible à gauche (resp. à droite) est inversible. Critère du noyau. Lien avec les systèmes de Cramer.
3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Cas des matrices triangulaires supérieures et des matrices diagonales. Cas des matrices d'ordre 2. Utilisation des polynômes annulateurs de matrices.

EXERCICES : feuille de TD 16 (exercice 5)

samedi 19 janvier 2019 : (8h-11h30)

COURS : Chapitre 17 (suite et fin)
IV Matrices inversibles

3) Calcul de l'inverse d'une matrice
Méthode de Gauss-Jordan.

EXERCICES : feuille de TD 16 (exercices 3)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 4,5,7,9,10,13,17)

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP7 : Représentation graphique avec Scilab (1/2)

lundi 21 janvier 2019 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 17 (exercices 11,15,19)

mardi 22 janvier 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 18 - Introduction aux espaces vectoriels
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I Espaces vectoriels

1) Définition
2) Premières propriétés
3) Exemples usuels
Définition de l'addition et de la multiplication externe sur $\mathbb{K}^n$ et sur $\mathcal{F}(A,E)$ où $A$ est un ensemble quelconque et $E$ un $\mathbb{K}$-e.v. Les ensembles $\mathbb{K}^n$ et $\mathcal{F}(A,E)$ sont des $\mathbb{K}$-e.v (en particulier l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles est un $\mathbb{R}$-e.v et les ensembles $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$ sont des $\mathbb{K}$-e.v).
4) Combinaison linéaires de vecteurs
Notion de famille finie de vecteurs.
II Sous-espaces vectoriels

1) Notion de sous-espace vectoriel
Exemples. Si $(E,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v et $F$ un s.e.v de $(E,+,\cdot)$, alors $(F,+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-e.v.

mercredi 23 janvier 2018 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 18 (suite)
II Sous-espaces vectoriels

1) Notion de sous-espace vectoriel
Définitions équivalentes. Sous espace vectoriel de sous espace vectoriel.
2) Exemples usuels
3) Intersection de sous-espaces vectoriels
4) Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs
Exemples. Caractérisation de de $\mathrm{Vect}(x_1,\cdots,x_n)$. Opérations élémentaires sur les vecteurs.

III Familles génératrices, familles libres, familles liées et bases

1) Familles génératrices
Défininition et premiers exemples.

jeudi 24 janvier 2019 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 18 (suite et fin)
III Familles génératrices, familles libres, familles liées et bases

1) Familles génératrices
Autres exemples.
2) Familles liées, familles libres
Définitions. Vecteurs colinéaires. Exemples.
3) Bases
Coordonnées d'un vecteur dans une base. Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[X]$.

samedi 26 janvier 2019 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLÉ


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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP7 : Représentation graphique avec Scilab (2/2)

lundi 28 janvier 2019 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 1,7,10)

mardi 29 janvier 2019 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 7,12,13)

COURS : Chapitre 19 - Analyse asymptotique
I Négligeabilité

1) Définition et premiers exemples
2) Comparaisons usuelles
Croissances comparées. Echelle des suites usuelles (vitesse de convergence).
3) Propriétés
Propriétés des suites négligeables (transitivité, multiplication par une constante non nulle, produits, sommes de mêmes petits o).

mercredi 30 janvier 2019 : (10h-12h)

BILAN DU PREMIER SEMESTRE

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 6,16)

COURS : Chapitre 19 (suite)
I Négligeabilité

3) Propriétés
Cas de la somme de petits o différents. Propriétés des fonctions négligeables (transitivité, multiplication par une constante non nulle, produits, sommes de mêmes petits o). Substitution par une fonction ou pas une suite dans un petit o. Attention : composition à gauche interdite.

jeudi 31 janvier 2019 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 19 (suite et fin)
I Equivalence

1) Définition et premiers exemples
2) Propriétés
Propriétés des suites équivalentes (Lien avec les suites négligeables. Réflexivité, symétrie, transitivité. Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Incompatibilité avec la somme). Propriétés des fonctions équivalentes (Lien avec les fonctions négligeables. Réflexivité, symétrie, transitivité. Equivalence et limite. Compatibilité avec le produit, le quotient et les puissances. Incompatibilité avec la somme). Substitution par une fonction ou pas une suite dans un équivalent. Attention : composition à gauche interdite.
3) Équivalents usuels
Polynômes en $0$ et $+\infty$. Polynômes en $1/n$. Equivalents usuels en $0$ ($\ln(1+x)\sim x$, $e^{x}-1\sim x$, $(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$ si $\alpha\in \mathbb{R}^*$, $1-\cos(x)\sim\frac{x^2}{2}$, $\sin(x)\sim x$, $\tan(x)\sim x$ et $\mathrm{Arctan}(x)\sim x$). Formule de Stirling.
4) Exemples

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP8 : Matrices et systèmes linéaires avec Scilab (1/2)

mardi 5 février 2019 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 18 (exercices 15,17)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 1,4,5,11)

COURS : Chapitre 20 - Dérivées successives et formules de Taylor (poly à trous distribué en cours PDF)
I Dérivées successives

1) Définitions
Fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Notations $f^{(n)}$ et $D^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^n$ sur $I$. Notation $C^n(I,\mathbb{R})$. Fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $I$. Notation $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$. Les fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus, tangente et Arctangente sont de classe $C^{\infty}$ sur leur domaine de définition. Contre exemple.
2) Opérations sur les dérivées successives
$D^n(I,\mathbb{R})$, $C^n(I,\mathbb{R})$ et $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$ sont des $\mathbb{R}$-e.v. Formule de Leibniz. Si $P\in \mathbb{R}_p[X]$ alors, pour tout $n>p$, $P^{(n)}$ est le polynôme nul. Dérivées successives de l'inverse, du quotient, de la composée de fonctions.

mercredi 6 février 2019 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 24 (suite)
II Formules de Taylor

1) Formule de Taylor pour les polynômes
Application à la caractérisation de la multiplicité des racines d'un polynôme.
2) Formule de Taylor avec reste intégral
Conséquence : Si $f$ est de classe $C^n$ et $f^{(n)}$ est la fonction nulle, alors $f$ est une application polynômiale de degré au plus n-1.
3) Inégalité de Taylor-Lagrange
Conséquence : preuve que $\smash[b]{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}e^x}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

jeudi 7 février 2019 : (9h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 2,3,4,5,6,10,11,13)

vendredi 8 février 2019 : (10h-11h)

COURS : Chapitre 24 (suite et fin)
III Application à l’étude d’extrema locaux (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Extremum local et point critique
Condition nécessaire d’extremum local. Contre-exemples si on enlève des hypothèses.
2) Condition suffisante d’extremum local

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 4,5,10,11,13)

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 1,8)

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP8 : Matrices et systèmes linéaires avec Scilab (2/2)

lundi 11 février 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercices 11,12)

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 3,7,10,11,14)

lundi 11 février 2019 : (13h30-15h30)

COURS : Chapitre 21 - Développements limités
I Notion de développement limité

1) Développement limité en $0$
2) Développement limité en $x_0\in \mathbb{R}$
On se ramène toujours à un $\mathrm{DL}_n(0)$ de $h\longmapsto f(x_0+h)$.
3) Unicité du développement limité
4) Théorèmes d'existence de développement limité
La fonction $f$ admet un $\mathrm{DL}_0(0)$ (resp. un $\mathrm{DL}_1(0)$) si et seulement si $f$ est continue (resp. dérivable) en $0$. Une fonction admettant un $\mathrm{DL}_n(0)$ avec $n\geq 2$, n'est pas forcément $n$ fois dérivable en $0$. Formule de Taylor-Young.
II Développements limités usuels (Développements limités usuels en $0$ PDF)

$\mathrm{DL}_n(0)$ de $\exp$, $\sin$, $\cos$, $\smash[b]{x\mapsto \dfrac{1}{1-x}}$, $\smash[b]{x\mapsto \dfrac{1}{1+x}}$, $x\longmapsto (1+x)^{\alpha}$ avec $\alpha\in \mathbb{R}$. $\mathrm{DL}_6(0)$ de $\tan$.

mardi 12 février 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 21 (suite)
II Développements limités usuels

$\mathrm{DL}_n(0)$ de $x\longmapsto -\ln(1-x)$, $x\longmapsto\ln(1+x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{DL}_n(0)$ d'un polynôme de degré $n$.
III Opérations sur les développements limités

1) Troncature
2) Linéarité
3) Produit
4) Multiplication, division et substitution par un monôme
Plus généralement, substitution (composition à droite) par un polynôme nul en $0$.
5) Primitivation et dérivation

EXERCICES : feuille de TD 19 (exercice 18)

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercice 5)

mercredi 13 février 2019 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 21 (suite et fin)
IV Quelques applications des développements limités

1) Recherche d'équivalents et de limites
2) Position locale d'une courbe par rapport à sa tangente
3) Développements limités généralisés
Développements asymptotiques. Recherche d'asymptotes.

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 3,5)

jeudi 14 février 2019 : (9h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercice 5,8,10,12,16)

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP9 : Résolution de manière approchée de l'équation $f(x)=0$ (1/2)

lundi 18 février 2019 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices 9,12,13,16)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 4,10)

mardi 19 février 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 20 - Séries numériques
I Généralités sur les séries numériques

1) Définitions
Série. Terme général. Suite des sommes partielles. Nature d'une série. Somme d'une série convergente. Séries ayant la même nature. Expression du terme général d'une série en fonction des sommes partielles.
2) Exemples
Série à terme général constant. Série géométrique. Série harmonique. Série $\smash{\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^*}\dfrac{1}{n^2}}$. Série $\smash{\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^*}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}}$.
3) Premières propriétés des séries
La nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. Condition nécessaire de convergence. Série qui diverge grossièrement, série télescopique.
4) Reste d'une série convergente
5) Opérations sur les séries
L'ensemble des séries convergentes est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Somme d'une série convergente et d'une série divergente.

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 7,8,9,17)

mercredi 20 février 2019 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 20 (suite)
II Séries à termes positifs

1) Théorème de convergence des séries à termes positifs
Une série à termes positifs converge si et seulement la suite des sommes partielles est majorée.
2) Critères de congergence des séries à termes positifs
Cas où $u_n\leq v_n$, $u_n=o(v_n)$ et $u_n\sim v_n$.
3) Séries de Riemann
Théorème de convergence. Point méthode sur la comparaison série/intégrale. Utilisation des séries de Riemann.

jeudi 21 février 2019 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 20 (suite)
II Séries à termes positifs

3) Séries de Riemann
Application aux séries de Bertrand.

EXERCICES : feuille de TD 20 (exercices supplémentaires)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercices 6,14,16)

samedi 23 février 2019 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 12h)

TP9 : Résolution de manière approchée de l'équation $f(x)=0$ (2/2)

TP supplémentaire : Développements limités

lundi 11 mars 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 21 (exercice 17)

COURS : Chapitre 20 (suite)
III Séries à termes de signe quelconque. Convergence absolue.

1) Séries absolument convergentes
La convergence absolue implique la convergence. La réciproque est fausse. Séries semi-convergentes. Si la série est absolument convergente, l'ordre de sommation n'a pas d'importance.

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercice 4)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 5

lundi 11 mars 2019 : (13h30-15h30)

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 2,4,6,7,12)

mardi 12 mars 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 20 (suite et fin)
III Séries à termes de signe quelconque. Convergence absolue.
2) Séries géométriques dérivées
3) Série exponentielle

INTERRO 5

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 7,8,13)

mercredi 13 mars 2019 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 23 - Probabilités sur un univers quelconque (poly distribué en cours PDF)
I Introduction

1) Ensembles dénombrables
2) Tribu et événements
Motivation de l'introduction de la notion de tribu.
II Espaces probabilisables quelconques

Tribu. Espace probabilisable. Premières propriétés. Evenements deux à deux incompatibles. Systèmes complets d'événements. Tribu engendrée par un système complet d'événement.
III Espaces probabilisés quelconques

1) Probabilité sur un espace probabilisable quelconque
$\sigma$-additivité. Probabilité. Premières propriétés. Cas particulier d'une probabilité sur un univers dénombrable.

jeudi 14 mars 2019 : (9h-11h)

COURS : Chapitre 23 (suite)
III Espaces probabilisés quelconques
2) Propriété de la limite monotone
3) Événement négligeable, événement presque sûr
Exemple d'une suite infinie de lancers de pièces.

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 1,11,13)

samedi 16 mars 2019 : (cours supplémentaire 8h-12h)

COURS : Chapitre 23 (suite et fin)
IV Conditionnement et indépendance

1) Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nulle est une probabilité. Formule des probabilités composées. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes.
2) Indépendance

IV Variables aléatoires réelles

1) Définitions et exemples
Si $X$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $[X\in I]\in \mathcal{A}$.
2) Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle
3) Loi d'une variable aléatoire réelle
La fonction de répartition caractérise la loi

EXERCICES : feuille de TD 22 (exercices 3,4,13,15,16,17,19)

lundi 18 mars 2019 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 4,5,6,7,8)

mardi 19 mars 2019 : (8h-11h)

INTERRO 6 (Info)

COURS : Chapitre 24 - Variables aléatoires discrètes (poly distribué en cours PDF)
I Variables aléatoires réelles discrètes (v.a.r.d)

1) Définition
$X$ est une v.a.r.d sur $(\Omega,\mathcal{A})$ si et seulement si $X(\Omega)$ est au plus dénombrable et, pour tout $x\in X(\Omega)$, $[X=x]\in \mathcal{A}$.
2) Tribu engendrée par une variable aléatoire réelle discète
Système complet d'événements associé à $X$. Tribu engendrée par ce système complet.
3) Loi d'une v.a.r.d
La loi d'une v.a.r.d est entièrement caractérisée par la donnée de $X(\Omega)$ et de $\mathbb{P}(X=x)$ pour tout $x\in X(\Omega)$. Si $X(\Omega)\subset \mathbb{N}$, caractérisation par la donnée d'une suite $(p_n)_{n\in \mathbb{N}}$ à termes positifs telle que la série $\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}} p_n$ est convergente de somme $1$. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert d'une v.a.r.d
5) Variable aléatoire discrète à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}$
... ou comment montrer que $\mathbb{P}(X=+\infty)=0$ pour pouvoir se ramener à $X(\Omega)\subset \mathbb{R}$.
II Moments d'une variable aléatoire réelle discrète

1) Espérance d'une v.a.r.d
2) Propriétés de l'espérance d'une v.a.r.d
Positivité, linéarité

mercredi 20 mars 2019 : (10h-12h)

COURS : Chapitre 22 (suite)
II Moments d'une variable aléatoire réelle discrète

3) Théorème de transfert
4) Moments d'ordre supérieur
Si $X$ admet un moment d'ordre $r\in \mathbb{N}^*$ alors, pour tout $k\leqslant r$, $X$ admet un moment d'ordre $k$.
5) Variances et écart type
Définition. Formule de Koenig-Huygens, positivité, $\mathbb{V}(aX+b)=a^2\mathbb{V}(X)$ lorsque $X$ admet un moment d'ordre $2$.
6) Inégalités de Markov et Tchebychev
III Variables aléatoires discrètes usuelles

1) Rappel : lois finies usuelles
Loi uniforme sur une partie finie, loi de Bernoulli, loi binomiale.
2) Loi géométrique
La v.a comptant le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ répétées indépendamment qui sont nécessaires pour obtenir le premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$.

jeudi 21 mars 2019 : (9h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 23 (exercices 1,2,8,11,12,14)

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TP d'informatique (mercredi à 12h30 à 13h30 et jeudi de 11h à 11h30)

TP10 : Probabilité A (1/3)

lundi 25 mars 2019 : (8h-10h et 13h30-15h30 en demi-groupes)