Mathématiques ECS1B

lundi 2 septembre 2019 : (8h30-10h)

ACCUEIL.

lundi 2 septembre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements (poly à trous distribué en cours PDF)
I Éléments de logique

1) Proposition
Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
2) Propositions équivalentes
Table de vérité, exemples.
3) Négation d'une proposition
Table de vérité, exemples. Négation d'une négation.
4) Conjonction et disjonction de propositions
Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
5) Implication
Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
II Ensembles, éléments et quantificateurs

1) Notion d'ensemble et d'éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
2) Quantificateurs
Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.

mardi 3 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 1 (suite)
II Ensembles, éléments et quantificateurs

2) Quantificateurs
Méthodes de preuve.
III Raisonnements usuels

1) Le raisonnement direct
Principe et exemple.
2) Le raisonnement par contraposition
Principe et exemple.
3) Le raisonnement par l'absurde
Principe et exemple.
4) Le raisonnement par récurrence
Rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.
5) Le raisonnement par disjonction des cas.
Principe et exemple.
6) Le raisonnement par analyse/synthèse
Principe et exemple

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 1,2,3,4,6)

mercredi 4 septembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 2 : Ensembles de nombres, calculs algébriques et inégalités
I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Existence admise des ensembles de nombres
2) Opérations dans $\mathbb{R}$
Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particulier de $\mathbb{Q}$. Congruences sur $\mathbb{R}$. Puissances entières. Identités remarquables.
3) Opérations dans $\mathbb{C}$
Extension de l'addition et la multiplication des réels aux complexes (on reverra cela en détail au chapitre 4).
4) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire. Partie entière d'un réel.
5) Racines d'un réel positif
Définition, unicité, propriétés. Existence admise.

mercredi 4 septembre 2019 : (13h-15h : cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 2 (suite)
I Les ensembles de nombres
6) Forme canonique d'un trinôme du second degré
Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$ dans le cas réel et le cas complexe. Signe dans le cas réel.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 7,9,11,14)

vendredi 6 septembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 1,8,10)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres
1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
2) Sommes usuelles
Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques.
3) Propriétés de la somme et du produit
Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
4) Changement d'indice

lundi 9 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 5,6,10,11,14,15)

mardi 10 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres

5) Sommes et produits télescopiques
Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.
III Factorielles et coefficients binomiaux
1) Factorielle d'un entier
2) Coefficients binomiaux
Définition, propriétés. Formule de Pascal.
3) Formule du binôme de Newton

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 16,18,19,21)

INTERROGATION ECRITE

mercredi 11 septembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 19,21,24,25,26)

vendredi 13 septembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 17,22,28,30,31)

COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle (poly à trous distribué en cours PDF)
I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
1) Introduction
Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative.
2) Opérations sur les fonctions
3) Propriétés globales
Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
2) Continuité
Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire (cas strictement monotone). Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.
3) Dérivabilité
Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones.

samedi 14 septembre 2019 : (8h-12h cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
3) Dérivabilité
Exemples.
4) Tableau de variations
III Plan d'étude d'une fonction
IV Fonctions usuelles
1) Fonctions puissances d'un nombre entier
2) Les fonctions affines, polynômiales et rationnelles
3) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
4) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
5) Puissances à exposant réel
Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel. Exponentielle de base $a$.
6) Autres fonctions usuelles (valeur absolue, partie entière)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,3,14)

COURS : Chapitre 2 (suite et fin)
IV Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Notion de somme double
Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
2) Le cas d'un domaine rectangulaire
3) Le cas d'un domaine triangulaire

lundi 16 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 31,32)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,3,17)

mardi 17 septembre 2019 : (8h-11h)

PHOTO DE CLASSE

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 4,6,9,12)

mercredi 18 septembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 4 - Nombres complexes et trigonométrie
I Propriétés fondamentales des nombres complexes
1) L'ensemble des nombres complexes
Définition de $\mathbb{C}$. Vocabulaire. Addition et multiplication sur les complexes. Rappel du binôme de Newton et des sommes géométriques.
3) Conjugué d'un nombre complexe
Définition et propriétés.
4) Module d'un nombre complexe
Définition et propriétés. Inégalité triangulaire.
5) Interprétation géométrique des nombres complexes
II Trigonométrie
1) Cercle trigonométrique, cosinus, sinus
2) Formulaire de trigonométrie
3) Tangente

INTERROGATION ECRITE

vendredi 19 septembre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 4 (suite)
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1) Argument d’un nombre complexe non nul
Définition. Forme trigonométrique d'un complexe non nul
2) Notation exponentielle
Définition et propriétés de l'exponentielle d'un imaginaire pur. Forme exponentielle d'un complexe non nul.
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe
3) Applications à la trigonométrie
Formules de Moivre et d’Euler, à la technique de l'Arc-moitié et aux calculs de sommes de sinus et cosinus. Applications au développement de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ et à la linéarisation de $\cos^p(\theta)$, $\sin^q(\theta)$ et $\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)$.
IV Équations polynômiales complexes
1) Racines carrées dans $\mathbb{C}$
Méthode pour déterminer une racine carrée d'un nombre complexe dans $\mathbb{C}$.

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 12,13,14,17)

lundi 23 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 1,3)

COURS : Chapitre 4 (suite)
IV Équations polynômiales complexes
2) Équations du second degré à coefficients complexes

mardi 24 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 4 (suite et fin)
IV Équations polynômiales complexes
3) Racines $n$-ièmes d'un complexe
Racines de l'unité (conformément au programme d'ECS, les résultats concernant les racines $n$-ièmes de l'unité ne sont pas exigibles des étudiants mais elles pourront être étudiées comme exemples d'utilisation de la notation exponentielle).

COURS : Chapitre 5 - Généralités sur les suites de nombres réels (poly à trous distribué en cours PDF)
I Notion de suite de nombres réels
1) Définitions
Notion de suite de nombres réels. Suites définies explicitement, par récurrence ou implicitement. Propriété vraie à partir d'un certain rang.
2) Opérations sur les suites
3) Propriétés générales
Monotonie. Suites majorées, minorées, bornées.
II Exemples de suites réelles
1) Suites arithmétiques
2) Suites géométriques
3) Suites arithmético-géométriques
4) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 6,13,16,18)

mercredi 25 septembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 9,11,17,19)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 6)

vendredi 27 septembre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DM 2

EXERCICES : feuille de TD 4 (exercice 19)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercices 1,5)

samedi 28 septembre 2019 : (8h-12h)

DEVOIR SURVEILLE

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TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab (1/2)

lundi 30 septembre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 6 - Convergence de suites réelles
I Bornes supérieures et inférieures sur $\mathbb{R}$
1) Majorant, minorant, maximum, minimum
2) Bornes supérieures, inférieures
3) Théorèmes d'existence
Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum. Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de $\mathbb{Z}$ admet un maximum (resp. un minimum). Théorème de la borne supérieure. Existence de la partie entière d'un réel.
II Suites convergentes

1)Définitions
Trois définitions équivalentes (dont la définition quantifiée).

mardi 1er octobre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
II Suites convergentes

1)Définitions
Unicité de la limite d'une suite convergente. Premières propositions immédiates. Suites des termes de rangs pairs/impairs.
2)Exemples fondamentaux
Convergence des suites constantes et stationnaires. Convergence vers $0$ des suites $(1/n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\alpha>0$, $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]-1,1\mathclose[$.
3) Limites et relation d'ordre
Une suite réelle convergente est bornée. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre (suite et fin).
4) Opération algébriques sur les suites convergentes
Opérations algébriques usuelles ainsi que l'élévation à la puissance $\alpha\in \mathbb{R}$.
5) Théorèmes d'encadrement
Théorème et conséquence. Application à la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. 6) Limites et composition par une fonction continue
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)
III Suites tendant vers $\pm \infty$

1) Définitions
Définition. Droite numérique achevée $\overline{\mathbb{R}}$. Unicité de la limite dans $\overline{\mathbb{R}}$.
2) Exemples fondamentaux
Convergence vers $+\infty$ des suites $(n^{\alpha})_{n\in \mathbb{N}}$ pour $\alpha>0$, $((\ln(n))^{\beta})_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $\beta>0$, $(n!)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(q^n)_{n\in \mathbb{N}}$ pour $q\in \mathopen]1,+\infty\mathclose[$.
3) Limites et compositon par des fonctions
Proposition admise provisoirement (cf. chapitre 11)

mercredi 2 octobre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
III Suites tendant vers $\pm \infty$

4) Limites infinies et relation d'ordre
5) Opérations algébriques sur les suites admettant une limite finie ou infinie
Quelques exemples de formes indéterminées.
6) Croissances comparées

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercice 1)

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS 1

vendredi 4 octobre 2019 : (8h-12h)

COURS : Chapitre 6 (suite)
IV Limites de suites monotones

1) Théorème de la limite monotone
2) Suites adjacentes
V Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$

1) Introduction
Points fixes. Si $f$ est continue et si la suite converge, alors la limite est un point fixe de $f$.
2) Exemple dans le cas où $f$ est croissante

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 6,9)

EXERCICES : feuille de TD 5 (exercice 1)

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TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP1 : Découverte de Scilab (2/2)

lundi 7 octobre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 6 (suite et fin)
V Exemples de suites récurrences du type $u_{n+1} = f(u_n)$

3) Exemple dans le cas où $f$ est décroissante

COURS : Chapitre 7 - Ensembles et applications (poly à trous distribué en cours PDF)
I Ensembles

1) Ensembles et éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension.
2) Parties d'un ensemble
Inclusion, double inclusion, transitivité. Ensemble vide. Ensemble des parties d'un ensemble.
3) Opérations sur les parties
Complémentaire, intersection, union, différence. Diagrammes de Venn. Cas des ensembles définis par compréhension. Propriétés de l'intersection, l'union et du complémentaire (commutativité, distributivité, lois de Morgan, etc.). Parties disjointes.

mardi 8 octobre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 7 (suite)
I Ensembles

4) Produit cartésien
Couples, $n$-upluet. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles.
5) Familles d'éléments
Famille d'éléments d'un ensemble indexée par un ensemble. Union et intersection d'une famille de parties d'un ensemble. Distributivité et lois de Morgan. Partition d'un ensemble.
II Applications

1) Notion d'application
Applications, images, antécédents, ensembles de départ et d'arrivée. Différence avec la notion de fonction. Egalité d'applications. Graphe d'une application, ensemble image. Application identité, application constante. Premiers exemples.
2) Composition d'applications
Applications composées. Associativité.

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 2,4,8,10,13)

mercredi 9 octobre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 7 (suite et fin)
III Applications injectives, surjectives, bijectives

1) Applications injectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition d'injections.
2) Applications surjectives
Définition. Méthodes de preuve. Exemples. Composition de surjections.
3) Applications bijectives
Définition. Exemples. Composition de bijections. Ensembles en bijection.
4) Réciproque d'une bijection
Application réciproque. Caractérisation de la bijection. Réciproque de la composée de bijections.

vendredi 11 octobre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 6 (exercices 11,12,13,16,18)

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TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP2 : Programmes et fonctions en Scilab (1/2)

mardi 15 octobre 2019 : (8h-11h)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 4,5,7,10,13)

mercredi 16 octobre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 8 - Élements de combinatoire
I Cardinal d’un ensemble fini

Définition intuitive. Définition avec la bijection. Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal. Le cardinal d'une partie d'un ensemble $E$ est inférieur au cardinal de $E$. Cas d'égalité.
II Dénombrement

1) Cardinal de l'union d'ensembles finis
Cardinal de l'union disjointe d'une famille finie de parties. Lemme des bergers. Cardinal du complémentaire. Formule de Poincaré pour deux ensembles finis.
2) Cardinal d'un produit cartésien.
3) Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini
III Listes, permutations, combinaisons

1) Listes
Lien avec les applications d'un ensemble de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments. Cardinal : $n^p$.
2) Listes d'éléments disjoints
Cardinal : $n!/(n-p)!$.

jeudi 17 octobre 2018 : (10h-11h et 14h30-16h30 en remplacement du lundi)

COURS : Chapitre 8 (suite et fin)
III Listes, permutations, combinaisons

2) Listes d'éléments disjoints
Lien avec les injections d'un ensemble de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.
3) Permutations
Lien avec les bijections et les façons d'ordonner les éléments d'un ensemble. Cardinal : $n!$.
4) Combinaisons
On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie de $E$ de cardinal $p$. Lien avec les $p$ listes d'éléments distincts non-ordonnées éléments de $E$.. Lien avec le choix de $p$ éléments de $E$. Lien avec un chemin réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions dans un arbre binaire. Cardinal : $\displaystyle\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
5) Revisitons les propriétés des coefficients binomiaux
Démonstration combinatoire des formules usuelles sur les coefficients binomiaux, dont la formule de Pascal. Démonstration par récurrence de la formule du binôme de Newton.
6) Applications aux tirages

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 9,10)

vendredi 18 octobre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 2,3,9,12,15)

EXERCICES : feuille de TD 8 (exercices 1,2)

samedi 19 octobre 2019 : (8h-12h : cours supplémentaire)

EXERCICES : feuille de TD 7 (exercices 2,3,4,5,6,7,10)

BILAN DU PREMIER SEMESTRE ET PREPARATION DU DS2

COURS : Chapitre 9 - Probabilités sur un univers fini (poly à trous distribué en cours PDF)
I Espaces probabilisés finis

1) Introduction
Notion d'expérience aléatoire. Premiers Exemples.
2) Espaces probabilisables finis
Espaces probabilisables finis. Univers. Evénements. Evénements élémentaires, certain, impossible. Evénéments incompatibles.
3) Opérations sur les événements
Evénement contraire. Réunion, intersection, complémentaire, inclusion d'événements. Evénements incompatibles. Rappels sur les opérations sur les ensembles. Système complet d'événements.

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TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP2 : Programmes et fonctions en Scilab (2/2)

lundi 4 novembre 2019 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 9 (suite)
I Espaces probabilisés finis

4) Système complet d'événements
5) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Probabilité. Premières propriétés. Additivité finie. Probabilité de l'union de deux ou trois événements. Probabilités et systèmes complet d'événements. Equiprobabilité.

mardi 5 novembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 9 (suite et fin)
I Espaces probabilisés finis

5) Probabilité sur un espace probabilisable fini
Equiprobabilité : modélisation et exemple.
II Probabilité conditionnelle (poly à trous distribué en cours PDF)

1) Définition et propriétés
La probabilité conditionnelle sachant un événement de probabilité non nul est une probabilité.
2) Formule des probabilités composées
3) Formule des probabilités totales
4) Formule de Bayes

III Indépendance

1) Indépendance de deux événements
Définition. Lien avec les probabilités conditionnelles. Exemples et contre-exemples.
2) Famille d’événements indépendants
Indépendance deux à deux. Indépendance mutuelle. Théorème des coalitions.

mercredi 6 novembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 1,2,4,8,13)

vendredi 8 novembre 2019 : (8h-10h et 10h-12h en demi-groupes)

EXERCICES : feuille de TD 9 (exercices 9,12,18,21)

samedi 19 octobre 2019 :

DEVOIR SURVEILLE

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TP d'informatique (lundi à 15h à 16h et mercredi de 12h30 à 13h30)

TP3 : Structures conditionnelles (1/2)

mardi 12 novembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 10 - Variables aléatoires finies (poly à trous distribué en cours PDF)
I Variable aléatoire réelle finie

1) Définitions et exemples
Notation $[X=x]$, $[x\leq x]$, etc. Système complet associé à une variable aléatoire réelle finie.
2) Loi d'une variable aléatoire
Différentes façons de représenter une loi. Egalité en loi (notation $X\overset{\mathscr{L}}{=}Y$). Existence de variable aléatoire réelle finie de loi donnée (notation $X\hookrightarrow \mathscr{L}$).
3) Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle finie.
Formule générale. Calcul de certaines probabilités à partir de la fonction de répartition. La fonction de répartition caractérise la loi.
4) Transfert de variables aléatoires
Etude de transferts de variables aléatoires dans des cas particuliers.
II Espérance et variance d’une variable aléatoire finie

1)Espérance
Définition

ELEMENTS DE CORRECTION DU DS2

mercredi 13 novembre 2019 : (8h-10h)