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Mathématiques ECS1B

Lycée Carnot, Paris


Cahier de texte
Année scolaire 2020/2021

Semaine du 31 août 2020

mardi 1er septembre 2020 : (8h30-10h)

    ACCUEIL.


mardi 1er septembre 2020 : (10h-12h)

    COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements (poly à trous distribué en cours PDF)
    I Éléments de logique
      1) Proposition
      Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
      2) Propositions équivalentes
      Table de vérité, exemples.
      3) Négation, conjonction et disjonction de propositions
      Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
      4) Implication
      Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
    II Ensembles, éléments et quantificateurs
      1) Notion d'ensemble et d'éléments
      Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
      2) Quantificateurs
      Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.


mercredi 2 septembre 2019 : (8h-10h)

    COURS : Chapitre 1 (suite)
    II Ensembles, éléments et quantificateurs
      3) Méthodes de preuve.
    III Raisonnements usuels
      1) Le raisonnement direct
      Principe et exemple.
      2) Le raisonnement par contraposition
      Principe et exemple.
      3) Le raisonnement par l'absurde
      Principe et exemple.
      4) Le raisonnement par disjonction des cas.
      Principe et exemple.
      5) Le raisonnement par analyse/synthèse
      Principe et exemple
    EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 2,3)


vendredi 4 septembre 2020 : (8h-11h)

    COURS : Chapitre 1 (suite et fin)
    III Raisonnements usuels
      4) Le raisonnement par récurrence
      Rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.
    EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 4,5,6)
    COURS : Chapitre 2 : Propriétés des nombres réels
    I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
      1) Existence admise des ensembles de nombres
      2) Opérations dans $\mathbb{R}$
      Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particuliers de $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$. Puissances entières. Identités remarquables.
      3) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
      Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire.
    II Parties majorées, parties minorées de $\mathbb{R}$
      1) Majorants et minorants
      2) Maximum et minimum
      Unicité.


samedi 5 septembre 2020 : (8h-12h - cours supplémentaire)

    COURS : Chapitre 2 (suite et fin)
    II Parties majorées, parties minorées de $\mathbb{R}$
      2) Maximum et minimum
      Exemples. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum. Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un maximum. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb{Z}$ admet un minimum.
      3) Borne supérieure et borne inférieure
      Théorème de la borne supérieure. Caractérisation de la borne supérieure/inférieure. Caractérisation des intervalles.
      4) Partie entière d'un réel
    III Racines d'un réel positif
      1) Racine $n$-ième d’un réel positif
      Définition, unicité, propriétés. Existence admise.
      2) Résolution des équations du second degré à coefficients réels
      Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$. Signe d'un trinôme.
    EXERCICES : feuille de TD 1 (exercice 7)
    EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 1,3,4,7,13)



Semaine du 7 septembre 2020

lundi 7 septembre 2020 : (13h-15h)

    COURS : Chapitre 3 : Sommes et produits de réels
    I Résultats généraux sur les sommes et produits
      1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
      Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
      2) Sommes usuelles
      Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques.
      3) Propriétés de la somme et du produit
      Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
      4) Changement d'indice


mardi 8 septembre 2020 : (8h-12h)

    COURS : Chapitre 3 (suite)
    I Résultats généraux sur les sommes et produits
      5) Sommes et produits télescopiques
      Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.
    II Factorielles et coefficients binomiaux
      1) Factorielle d'un entier
      2) Coefficients binomiaux
      Définition, propriétés. Formule de Pascal.
      3) Formule du binôme de Newton
    EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 10,11,15,16,17)


mercredi 9 septembre 2019 : (8h-10h)

    EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,5,8)


vendredi 11 septembre 2020 : (8h-11h)

    COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
    III Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
      1) Notion de somme double
      Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
      2) Le cas d'un domaine rectangulaire
      3) Le cas d'un domaine triangulaire
    EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 3,6,12,13)


samedi 12 septembre 2020 : (10h-12h - cours supplémentaire)

    EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 9,15,18,19,21)



Semaine du 14 septembre 2020

lundi 14 septembre 2020 : (13h-15h)

    COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle (poly à trous distribué en cours PDF)
    I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
      1) Introduction
      Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative. Fonctions affines et droites.
      2) Opérations sur les fonctions
      Somme, produit, multiplication, inverse, quotient, compositon.
      3) Propriétés globales
      Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.
    II Limites, continuité et dérivabilité (rappels admis temporairement de Terminale S)
      1) Limites
      Définitions. Opérations sur les limites (cf. tableau en annexe du poly d'exercices). Composition de limite. Asymptotes.
      2) Continuité
      Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire (cas strictement monotone). Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.


mardi 15 septembre 2020 : (8h-10h)

    COURS : Chapitre 3 (suite)
    II Limites, continuité et dérivabilité (rappels admis temporairement de Terminale S)
      3) Dérivabilité
      Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones. 4) Tableau de variations
    III Plan d'étude d'une fonction
    IV Fonctions usuelles
      1) Fonctions puissances d'un nombre entier
      2) Les fonctions polynomiales et rationnelles
      3) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
      4) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
      5) Puissances à exposant réel
      Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel.


mardi 15 septembre 2020 : (10h-12h en demi-groupe) et mercredi 16 septembre 2020 (8h-10h en demi-groupe)

    EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 18,20,21)
    EXERCICES : feuille de TD 4 (exercices 3)



vendredi 18 septembre 2020 : (8h-11h)