Mathématiques ECS1B

lundi 2 septembre 2019 : (8h30-10h)

ACCUEIL.

lundi 2 septembre 2018 : (13h-15h)

COURS : Chapitre 1 - Logique et raisonnements (poly à trous distribué en cours PDF)
I Éléments de logique

1) Proposition
Définition et exemple de propositions, axiomes, théorème, corollaires, conjectures.
2) Propositions équivalentes
Table de vérité, exemples.
3) Négation d'une proposition
Table de vérité, exemples. Négation d'une négation.
4) Conjonction et disjonction de propositions
Table de vérité, exemples. Propriétés d'idempotence, commutativité, associativité, distributivité. Lois de Morgan.
5) Implication
Définition et propriétés, réciproque, négation, contraposée, double implication, conditions nécessaires et suffisantes.
II Ensembles, éléments et quantificateurs

1) Notion d'ensemble et d'éléments
Appartenance, ensemble égaux, définition par extension/compréhension, ensemble vide, inclusion, complémentaire, intersection, réunion.
2) Quantificateurs
Définitions des quantificateurs universels et existentiels. Remarques sur leur utilisation et la rédaction. Négation des quantificateurs. Exemples avec plusieurs quantificateurs.

mardi 3 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 1 (suite)
II Ensembles, éléments et quantificateurs

2) Quantificateurs
Méthodes de preuve.
III Raisonnements usuels

1) Le raisonnement direct
Principe et exemple.
2) Le raisonnement par contraposition
Principe et exemple.
3) Le raisonnement par l'absurde
Principe et exemple.
4) Le raisonnement par récurrence
Rédaction, exemple. Principes de récurrence descendante, double, forte.
5) Le raisonnement par disjonction des cas.
Principe et exemple.
6) Le raisonnement par analyse/synthèse
Principe et exemple

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 1,2,3,4,6)

mercredi 4 septembre 2019 : (8h-10h)

COURS : Chapitre 2 : Ensembles de nombres, calculs algébriques et inégalités
I Les ensembles de nombres (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Existence admise des ensembles de nombres
2) Opérations dans $\mathbb{R}$
Addition et multiplication dans $\mathbb{R}$. Cas particulier de $\mathbb{Q}$. Congruences sur $\mathbb{R}$. Puissances entières. Identités remarquables.
3) Opérations dans $\mathbb{C}$
Extension de l'addition et la multiplication des réels aux complexes (on reverra cela en détail au chapitre 4).
4) Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Intervalles de $\mathbb{R}$. Valeur absolue d'un réel. Inégalité triangulaire. Partie entière d'un réel.
5) Racines d'un réel positif
Définition, unicité, propriétés. Existence admise.

mercredi 4 septembre 2019 : (13h-15h : cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 2 (suite)
I Les ensembles de nombres
6) Forme canonique d'un trinôme du second degré
Factorisation selon le signe du discriminant. Solutions de $ax^2+bx+c=0$ dans le cas réel et le cas complexe. Signe dans le cas réel.

EXERCICES : feuille de TD 1 (exercices 7,9,11,14)

vendredi 6 septembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 1,8,10)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres
1) Notations $\Sigma$ et $\prod$
Notations, exemples, conventions. Famille de nombres indexée par une partie finie de $\mathbb{N}$.
2) Sommes usuelles
Calculs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk}$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^3}$, sommes géométriques.
3) Propriétés de la somme et du produit
Factorisation, linéarité de la somme, sommation par paquets, relation de Chasles. Inégalités. Lien entre produit et somme avec le logarithme.
4) Changement d'indice

lundi 9 septembre 2018 : (13h-15h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 5,6,10,11,14,15)

mardi 10 septembre 2019 : (8h-11h)

COURS : Chapitre 2 (suite)
II Sommes et produits de nombres

5) Sommes et produits télescopiques
Somme télescopique (preuve avec changement d'indice). Exemple.
III Factorielles et coefficients binomiaux
1) Factorielle d'un entier
2) Coefficients binomiaux
Définition, propriétés. Formule de Pascal.
3) Formule du binôme de Newton

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 16,18,19,21)

INTERROGATION ECRITE

mercredi 11 septembre 2019 : (8h-10h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 19,21,24,25,26)

vendredi 13 septembre 2019 : (8h-12h)

EXERCICES : feuille de TD 2 (exercices 17,22,28,30,31)

COURS : Chapitre 3 - Étude de fonctions réelles d'une variable réelle (poly à trous distribué en cours PDF)
I Généralités sur les fonctions réelles d'une variable réelle
1) Introduction
Fonction, domaine de définition, image, antécédents, courbe représentative.
2) Opérations sur les fonctions
3) Propriétés globales
Signe d'une fonction. Propriétés de symétrie (périodicité, parité). Fonctions monotones. Fonctions majorées, minorées, bornées.
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
2) Continuité
Définition avec les limites. Opérations sur les fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire (cas strictement monotone). Application à l'existence de la racine $n$-ième d'un réel positif.
3) Dérivabilité
Définition, tangente à la courbe, fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes et décroissantes sur un intervalle. Cas des fonctions strictement monotones.

samedi 14 septembre 2019 : (8h-12h cours supplémentaire)

COURS : Chapitre 3 (suite et fin)
II Limites, continuité et dérivabilité (rappels de Terminale S)
3) Dérivabilité
Exemples.
4) Tableau de variations
III Plan d'étude d'une fonction
IV Fonctions usuelles
1) Fonctions puissances d'un nombre entier
2) Les fonctions affines, polynômiales et rationnelles
3) Les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)
4) Les fonctions exponentielle et logarithme népérien
5) Puissances à exposant réel
Définitions et propriétés. Fonction puissance d'un réel. Exponentielle de base $a$.
6) Autres fonctions usuelles (valeur absolue, partie entière)

EXERCICES : feuille de TD 3 (exercices 1,2,3,14)

COURS : Chapitre 2 (suite et fin)
IV Sommes doubles (poly à trous distribué en cours PDF)
1) Notion de somme double
Couple d'entiers naturels. Famille de complexes indexée par une partie finie de $\mathbb{N}^2$. Somme double.
2) Le cas d'un domaine rectangulaire
3) Le cas d'un domaine triangulaire

lundi 16 septembre 2018 : (13h-15h)